高中数学第一单元常用逻辑用语1_3_2命题的四种形式教学案新人教B版选修1-1
1．3.2 命题的四种形式
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识
四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题：
(1)当 x＝2 时，x2－3x＋2＝0；
(2)若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2；
(3)若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0；
(4)若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命
题：
(1)原命题：________________；
(2)逆命题：________________(“换位”)；
(3)否命题：________________(“换质”)；
(4)逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．
知识点二 命题的四种形式之间的关系
思考 1 为了书写方便常把 p 与 q 的否定分别记作“綈 p”和“綈 q”，如果原命题是“如果
p，则 q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
思考 2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命
题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
梳理 四种命题间的相互关系
知识点三 四种命题的真假关系
思考 1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？
思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
梳理 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是
________________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．
类型一 四种命题及其相互关系
命题角度 1 四种命题的概念
例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若 x∈A，则 x∈A∪B；
(2)若 a，b 都是偶数，则 a＋b 是偶数；
(3)在△ABC 中，若 a>b，则 A>B.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练 1 命题“若函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则 loga2<0”的
逆否命题是( )
A．若 loga2<0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若 loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若 loga2<0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若 loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
命题角度 2 四种命题的相互关系
例 2 若命题 p：“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题为 q，命题 q 的逆命题为 r，
则 r 与 p 的逆命题的关系是( )
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断；
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是
互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
跟踪训练 2 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a，b 满足 a＝1 且 b＝2，则 a＋b<4”，则命题
p 的否命题是__________________________________．
类型二 四种命题的真假判断
例 3 有以下命题：
①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若
m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题，其
中真命题为( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关
系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
跟踪训练 3 命题“若 a>b，则 ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，
真命题的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
类型三 等价命题的应用
例 4 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，
则 a≥1”的逆否命题的真假．
引申探究
判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0 的解集为 R，则 a<7
4
”
的逆否命题的真假．
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有
等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为
真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练 4 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
1．命题“若 a∉ A，则 b∈B”的否命题是( )
A．若 a∉ A，则 b∉ B B．若 a∈A，则 b∉ B
C．若 b∈B，则 a∉ A D．若 b∉ B，则 a∉ A
2．命题“如果 x2<1，则－1
1 或 x<－1，则 x2>1
D．如果 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( )
A．真命题
B．假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为 60°”的否命题；
③“若 k<0，则方程 x2＋(2k＋1)x＋k＝0 必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知命题“若 m－10，则 C>0.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
类型二 逻辑联结词与量词的综合应用
例 2 已知 p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若 p∨q 为假命题，则实数 m
的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的
命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p 真与綈 p 假等价，p 假与綈 p 真等价，将
问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练 2 已知命题 p：方程 2x2＋ax－a2＝0 在[－1,1]上有解；命题 q：只有一个实数 x0
满足不等式 x2
0＋2ax0＋2a≤0.若命题“p 或 q”是假命题，求 a 的取值范围．
类型三 充分条件与必要条件
命题角度 1 充分条件与必要条件的判断
例 3 (1)设 x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知 a，b 是实数，则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若 p 则 q，若 q 则 p 的真假．
(2)等价法：利用 A⇒B 与綈 B⇒綈 A，B⇒A 与綈 A⇒綈 B，A⇔B 与綈 B⇔綈 A 的等价关系，对
于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A
＝B，则 A 是 B 的充要条件．
跟踪训练 3 使 a>b>0 成立的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2>0 B． 1
2
log a > 1
2
log b >0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb 且 x>0.5
命题角度 2 充分条件与必要条件的应用
例 4 设命题 p：x2－5x＋6≤0；命题 q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈 p 是綈 q 的必要不充分
条件，求实数 m 的取值范围．
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据
集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈 p 是綈 q 的充分不必要(必要不充分、充要)
条件，则 p 是 q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练 4 已知 p：2x2－9x＋a<0，q：20，总有(x＋1)ex>1，则綈 p 为( )
A．∃x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．∃x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
2．设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“若 x，y 全为零，则 xy＝0”的否命题为______________．
4．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈
q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是________．
5．对任意 x∈[－1,2]，x2－a≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命
题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果 p，则 q”，则该命题
的否命题是“如果綈 p，则綈 q”；命题的否定为“如果 p，则綈 q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是
等价命题．
3．判断 p 与 q 之间的关系时，要注意 p 与 q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正
好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不
全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好
是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件
的否定．
梳理 (1)如果 p，则 q (2)如果 q，则 p (3)如果綈 p，则綈 q (4)如果綈 q，则綈 p
知识点二
思考 1 逆命题：如果 q，则 p.否命题：如果綈 p，则綈 q.逆否命题：如果綈 q，则綈 p.
思考 2 互逆、互否、互为逆否．
梳理 如果 p，则 q 如果 q，则 p 如果綈 p，则綈 q 如果綈 q，则綈 p
知识点三
思考 1 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
思考 2 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命
题．
梳理 (1)逆否命题 (2)没有关系
题型探究
例 1 解 (1)逆命题：若 x∈A∪B，
则 x∈A.
否命题：若 x∉ A，则 x∉ A∪B.
逆否命题：若 x∉ A∪B，则 x∉ A.
(2)逆命题：若 a＋b 是偶数，则 a，b 都是偶数．
否命题：a，b 不都是偶数，则 a＋b 不是偶数．
逆否命题：若 a＋b 不是偶数，则 a，b 不都是偶数．
(3)逆命题：在△ABC 中，若 A>B，则 a>b.
否命题：在△ABC 中，若 a≤b，则 A≤B.
逆否命题：在△ABC 中，若 A≤B，
则 a≤b.
跟踪训练 1 B
例 2 B [已知命题 p：若 x＋y＝0，
则 x，y 互为相反数．
命题 p 的否命题 q 为：若 x＋y≠0，
则 x，y 不互为相反数，
命题 q 的逆命题 r 为：
若 x，y 不互为相反数，则 x＋y≠0，
∴r 是 p 的逆否命题，
∴r 是 p 的逆命题的否命题，故选 B.]
跟踪训练 2 若实数 a，b 满足 a＋b≥4，则 a≠1 或 b≠2
解析 由命题 p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
例 3 D [①②③显然正确；对于④，若 A∩B＝B，则 B⊆A，
所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]
跟踪训练 3 B [命题“若 a>b，
则 ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若 ac2>bc2，
则 a>b(a，b，c∈R)”是真命题，
则其否命题是真命题．故选 B.]
例 4 解 方法一 原命题的逆否命题：已知 a，x 为实数，若 a<1，则关于 x 的不等式 x2＋(2a
＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为∅ ，判断如下：
抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 的开口向上，
令 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为 a<1，所以 4a－7<0，
即关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为∅ .故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即 4a－7≥0，解得 a≥7
4
≥1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
解 先判断原命题的真假如下：
因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0 的解集为 R，且抛物线 y＝x2＋(2a
＋1)x＋a2＋2 的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7<0，
所以 a<7
4
.所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
跟踪训练 4 证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b＋1，则
a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若 a＝2b＋1，
则 a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
当堂训练
1．B 2.D 3.A 4.C 5.[1,2]
