2012泉州5月份质检理数试卷

2012泉州5月份质检理数试卷

试题考查意图解析 理科：‎ ‎1．已知复数(为虚数单位)是纯虚数，则 A．-1 B．‎1 C． D．0 ‎ 考查复数基本概念。‎ ‎2．下列向量中与向量a垂直的是 A．b= B．c= C．d= D．e= ‎ 考查向量基本概念和坐标运算。‎ ‎3．已知是直线，是平面，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　‎ C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 考查线面位置关系和充要条件。‎ ‎4．已知，则 A． B． C． D．‎ 考查三角函数的基本公式。‎ ‎5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的2个小球标注的数字之和为5的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 考查排列组合与古典概型,考查必然与或然思想。‎ 主要意图：表达对排列组合问题的处理建议。‎ ‎6．设等比数列的前项和为，若，，则公比 A．1 B‎.2 ‎‎ C．4 D．8‎ 考查等比数列的基本概念、公式，考查运算求解能力，考查方程思想（基本量法）。‎ 主要意图：表达对数列问题的处理建议。‎ ‎7．若函数没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 考查零点概念、二次函数、基本不等式等基础知识。‎ 创新点：不等式与函数的交汇。‎ ‎8．某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本81万元，每千件的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：千件）满足关系：．该公司为了在生产中获得最大利润（年利润=年销售收入－年总成本），则年产量应为 A．5千件 B．千件 C．9千件 D．10千件 考查阅读理解能力、运算求解能力、分析处理问题能力、建模思想、导数的应用，考查函数思想与应用意识.‎ 主要意图：表达应用题的一种题型位置设置可能；表达应用题的一种知识内容选择的可能。‎ ‎9．如图1所示，一平面曲边四边形中，曲边是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为，边在直线上，四边形绕直线旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是 A．3　　 　　B．‎4　‎　　 　C．　　　 　D．2‎ ‎　　　　　‎ 考查旋转体、三视图、双曲线的方程与性质，考查空间想象能力、综合地分析和解决问题能力，考查转化化归思想、数形结合思想。‎ 创新点：解析几何与立体几何的一种交汇方式，三视图的一种考查方式。‎ 主要意图：表达对双曲线问题和三视图问题的处理意见。‎ ‎10．设函数的定义域为，若对于任意且，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究并利用函数的对称中心，可得 A．4023　　　 　B．‎-4023　‎　　 　C．8046　　　 　D．-8046‎ 考查三角函数公式、代数恒等变形、数列求和的例序相加法，考查运算求解能力、阅读理解能力、推理论证能力，考查函数方程思想、特殊与一般思想.‎ 根据问题的目标表达式，合理猜想，即对称中心横坐标为，是解决问题的突破口.‎ ‎11．设集合，，若，则________ . ‎ 考查集合的基础知识，考查推理论证能力.‎ ‎12．已知圆与直线（）有公共点，则实数的取值范围是_______. ‎ 考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力、数形结合能力，考查函数方程思想、特殊与一般思想.‎ ‎13．已知不等式组所表示的平面区域为,从中任取一点，则点横坐标大于2的概率为_____.‎ 考查不等式（可行域）、几何概型等基础知识，考查抽象概括能力，考查数形结合思想、转化化归思想.‎ ‎14．在某次模拟考试中，某校1000名考生的数学成绩近似服从正态分布，则该校数学成绩在140分以上的考生人数约为 .（注： 若，则）‎ 考查正态分布的基础知识,考查数据处理能力，考查数形结合思想。.‎ ‎15．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程转化为线性回归方程，即两边取对数,令,得到.受其启发，可求得函数的值域是____ ___.‎ 考查合情推理(类比方法)、二次函数、对数函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数方程思想、转化化归思想.‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ 已知等差数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）从集合中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为，求的分布列和期望．‎ 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．‎ 创新点：数列与概率统计的自然交汇。‎ 主要意图：展示考查数列问题的一种试题设置方式；表达对数列的考查重在基本公式和基本量法的观点；体现对概率统计内容的考查，对分布列及基本统计量的考查，警示对概率统计试题要重视模型识别（超几何分布或二项分布）。‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 已知函数（）的部分图像， 是这部分图象与轴的交点（按图所示），函数图象上的点满足：.‎ ‎（Ⅰ）求函数的周期；‎ ‎（Ⅱ）若的横坐标为1，试求函数的解析式，并求的值.‎ 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想。‎ 创新点：三角函数与解三角形、基本三角函数公式的交融。‎ 主要意图：展示命题者对三角函数核心内容与学科本质（定义、函数的图象与性质、用三角函数基本公式进行恒等变形、解三角形）的理解。本题还着重体现了对阅读理解能力的考查（审题能力）。命题时，曾纠结于“如图所示”的放置位置。放于题中“按图所示”位置，限定了的位置情况，马虎的学生不会多想，稍细心的学生可能想到还有另一种位置可能，更细心的学生能理解“如图所示”放置位置的深意。但这样可能涉及公平性（或合理性）问题，因此，最后干脆将“如图所示”明确为“按图所示”.‎ 试题解答的切入点是：在中用余弦定理求；最主要的难点是：通过确定的坐标后求解析式中的值。‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.‎ 解析：（Ⅰ）椭圆的离心率为， ……1分 抛物线的焦点为. ……2分 设椭圆的方程为，‎ 由题意，得：　，解得，　　‎ ‎∴椭圆的标准方程为 . ……5分 涉及抛物线方程、焦点，椭圆离心率、方程、关系，求曲线方程的待定系数法。通过基本量法（关系）体现对方程思想的考查。‎ ‎（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆. ……6分 联立椭圆和直线的方程，，消去，‎ 得， ……7分 设的横坐标分别为，则. ……8分 设椭圆的方程为， ……9分 联立方程组，消去，得,‎ 设的横坐标分别为，则. ……10分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合， ……11分 ‎∴，，‎ ‎∵，∴化简得， ……12分 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ 解法二：设椭圆的方程为，‎ 并设.‎ ‎∵在椭圆上，‎ ‎∴且，两式相减变恒等变形得. ……8分 由在椭圆上，仿前述方法可得. ……11分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合，‎ ‎∴， ……12分 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ 给出一个新定义,考查阅读理解能力，考查自主学习能力；考查运算求解能力，推理谁能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想。‎ 主要意图：在对直线与圆锥曲线位置关系的考查要求上，强化与省质检的呼应（联立方程组的处理思路与“设而不求”的处理思路），期望更加坚定对“直线与圆锥曲线的位置关系”考查的信心与决心，强化对运算求解能力的考查要求，期望考生确实确立“敢算才会赢”的应考信念，表达对“根与系数关系”知识点的处理建议。‎ 将原来设想的“若”改为“若线段与线段的中点重合”，减少了一个转化的环节，降低了难度，但影响了品位，目的在于让更多的学生能完成本题的最终解答。‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体材料切割成三棱锥. ‎ 开始 结束 输出三棱锥的高 输入 ‎（Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：；‎ ‎（Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高.‎ ‎(i) 甲工程师先求出所在直线与平面所成的角 ‎，再根据公式求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高.‎ ‎（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）.‎ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步、解三角形等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识。‎ 对应用意识的考查，尽管有学科内应用和学科外应用的观点，但在解答题中，仅在概率统计方面体现对现实应用的考查（还有真假应用的争议），其考查力度与新课程对应用意识的要求不相适应！在哪一主干内容上设置应用题，应该都有可能：福建高考已有多次在三角函数方面设置，《说明》的样卷在解析几何方面设置（已给考生警示），市质检两年都在立体内几何方面设置，意图在于给学生更为广泛的警示（能否在函数方面、不等式方面设置？）。‎ 试题创新点：1、在立体几何方面设置应用性问题的试题，数量上比较少。2、将算法放到解答题中考查还很少，算法与立体几何、三角函数的交汇更是独创。3、空间直角坐标系的建系方法（传统方法都是在目标图形中先通过有关垂直的证明获得两两垂直且交于同一点的三线，再建系。在割前的图形中建系非常少见！）。4、展示对点面距的考查方式和教学要求的一种与省质检所表达的观点不同的处理意见（向量法与等积法）。5、隐性考查解三角形问题（余弦定理、正余弦函数关系、面积公式）。‎ 警示意图：1、算法问题考思想、考算法功能的解读能力。2、立体几何试题也可以实现对考生应用意识的考查目的。3、理科立几题与文科有别，要体现课程特点，体现坐标法（向量法）的优势。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的导函数；‎ ‎（Ⅱ）若、为函数的两个极值点，且，试求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）设函数在点（为非零常数）处的切线为，若函数图象上的点都不在直线的上方，试探求的取值范围.‎ 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想．‎ 第（Ⅰ）小题，既考查了基本的求导公式，又很好地体现对分类与整合思想的考查,同时也实现了对绝对值概念这个知识盲点的警示.‎ 第（Ⅱ）小题，1、通过解答表达了“二次方程中根与系数关系”这个知识点的处理建议（可直接使用）。2、警示关注函数极值点与导函数零点之间的关系问题。3、以分式不等式为例，示范了在试题解答中，对超出中学要求的内容的一种处理建议（展示过程或先证后用）。‎ 第（Ⅲ）小题，1、展示试卷压轴点的一种设置方式。2、对整道小题的解决，除了要有足够的能力水平和智慧外，还需足够的时间。3、向考生警示，压轴点的每1分都需要付出极大的代价，考生要具备对自己能力水平的预估判断能力，能做出恰当的考试决策（将主要考试精力放在何处比较恰当！）。‎ 该小题的挑战点很多：(1)切线的方程（为常数）复杂，建立的函数可怕，还有导函数的恒等变形要求较高；（2）导函数值的符号讨论需分两大类，每类各有四个区间，对心理素质是极大的考验；(3)将问题转化化归为对恒成立,即只需和同时成立后，能发现也实属不易！（4）为研究,而构造函数，需要非常的冷静，和高标准的能力要求；（5）证明了在上单调递增，能发现 ‎(然后才能得到”当且仅当时，”)也相当难能可贵；（6）最后还得转换为“当且仅当时，”，再解不等式得的取值范围是。‎ 曾考虑去掉第（Ⅱ）小题，将第（Ⅲ）小题拆成两个小题，以减少整道大题的工作量。但担心这样处理后的第（Ⅱ）小题，含字母的表达式变形问题、含字母的分式不等式求解（或讨论符号）问题、分类与整合的要求问题等都过于复杂，将严重影响整题得分。权衡后，决定：宁肯加大压轴点得分难度，以保证基本分尽量多得。‎ ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值为1.‎ ‎（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；（Ⅱ）设，求.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围． ‎ 三个选考题中要求最高的当属第（1）题，原因：1、省检反馈矩阵与变换试题的实际难度最底，担心高考命题时会相对加大难度；2、为体现对特征值、特征向量及应用的全面考查，实现对整个知识块的复习梳理，故使考查的量偏多了。‎ 第（2）题要求最低，应比较贴近高考要求.该题为共同选学内容，不论要求高低，都是相对公平的.‎ 第（3）题，为体现公平(与（1）的匹配)，在第（Ⅱ）小题中对理性思维能力的要求高一些.处理时，可根据的最值，直接判断实数的取值范围，也可采取正难则反的策略，先研究命题“任意实数使成立，求实数的取值范围”.‎