高三数学（理数）总复习练习专题二十一 数系的扩充与复数的引入

高三数学（理数）总复习练习专题二十一 数系的扩充与复数的引入

‎1．(2015·北京，1，易)复数i(2－i)＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i ‎【答案】　A　i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.‎ ‎2．(2015·湖北，1，易)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)‎ A．i B．－i C．1 D．－1‎ ‎【答案】　A　∵i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，‎ ‎∴其共轭复数为i.‎ ‎3．(2015·课标Ⅰ，1，易)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. C．2‎ ‎【答案】　A　由＝i，得z＝＝ ‎＝i，∴|z|＝1.‎ ‎4．(2015·安徽，1，易)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　B　＝＝＝＝－1＋i，所对应的点为(－1，1)，在第二象限．‎ ‎5．(2015·湖南，1，易)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】　D　由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D. ‎ ‎6．(2015·山东，2，易)若复数z满足＝i.其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i ‎【答案】　A　∵＝i，∴＝i(1－i)＝1＋i，‎ ‎∴z＝1－i.故选A.‎ ‎7．(2015·课标Ⅱ，2，易)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　B　∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴a＝0.‎ ‎8．(2015·广东，2，易)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i ‎【答案】　A　∵z＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.‎ ‎9．(2015·江苏，3，易)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．‎ ‎【解析】　∵z2＝3＋4i，‎ ‎∴|z2|＝＝5＝|z|2，‎ ‎∴|z|＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2014·课标Ⅰ，2，易)＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】　D　＝＝－1－i，故选D.‎ ‎2．(2014·广东，2，易)已知复数z满足(3＋4i)z＝25(i为虚数单位)，则z等于(　　)‎ A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i ‎【答案】　D　方法一：由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i.‎ 方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得 故z＝3－4i.‎ ‎3．(2014·江西，1，易)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i ‎【答案】　D　方法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.‎ ‎∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.‎ 又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.‎ 方法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.‎ 又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，‎ ‎∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.‎ ‎4．(2014·安徽，1，易)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)‎ A．－2 B．－2i C．2 D．2i ‎【答案】　C　∵z＝1＋i，∴＝1－i，＋i·＝＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.‎ ‎5．(2013·山东，1，易)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i ‎【答案】　D　z＝＋3＝＋3＝5＋i，‎ 故＝5－i.‎ ‎6．(2013·课标Ⅰ，2，易)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4 B．－ C．4 D. ‎【答案】　D　∵(3－4i)z＝|4＋3i|，‎ ‎∴z＝＝＝＝＋i.‎ ‎∴z的虚部为.‎ ‎7．(2013·北京，2，易)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　D　(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，位于第四象限，故选D.‎ ‎8．(2013·陕西，6，中)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则1＝2‎ B．若z1＝2，则1＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2‎ D．若|z1|＝|z2|，则z＝z ‎【答案】　D　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0，a＝c，b＝d，所以1＝2，故A项正确；若z1＝2，则a＝c，b＝－d，所以1＝z2，故B项正确；若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·1＝z2·2，故C项正确；z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，在a2＋b2＝c2＋d2的条件下，‎ 不能保证a2－b2＝c2－d2，2ab＝2cd，故D项错误．‎ ‎9．(2013·江苏，2，易)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．‎ ‎【解析】　方法一：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴|z|＝＝5.‎ 方法二：|z|＝|(2－i)2|＝|2－i|2＝22＋(－1)2＝5.‎ ‎【答案】　5‎ 考向1　复数的概念及运算 ‎1．相关概念 ‎(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，是实数；当b≠0时，是虚数；当a＝0且b≠0时，是纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d.‎ ‎2．复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)‎ 运算法则 运算形式 加法 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 减法 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 乘法 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 除法 ＝＝＝＋i(c2＋d2≠0)‎ ‎　　3.常用结论 ‎(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.‎ ‎(2)(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.‎ 不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，并不能推出z1＝z2＝0.‎ ‎(1)(2014·山东，1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i ‎(2)(2013·安徽，1)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎(3)(2014·四川，11)复数(i为虚数单位)＝________．‎ ‎【解析】　(1)∵a－i与2＋bi互为共轭复数，∴a＋i＝2＋bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.‎ ‎(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，‎ 即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi.‎ ‎∴解得 ‎∴z＝1＋i.‎ ‎(3)＝＝－2i.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A　(3)－2i ‎ 复数相关概念与运算的技巧 ‎(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．‎ ‎(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．‎ ‎(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．‎ ‎(1)(2014·辽宁，2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i ‎(2)(2014·江苏，2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．‎ ‎(1)【答案】　A　由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.故选A.‎ ‎(2)【解析】　由题意得z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，所以其实部为21.‎ ‎【答案】　21‎ 考向2　复数的几何意义及模的运算 ‎1．复数的几何意义 ‎(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；‎ ‎(2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则．‎ ‎2．复数的模 向量的长度r叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎3．模的运算性质 ‎(1)|z|2＝||2＝z·；‎ ‎(2)|z1·z2|＝|z1||z2|；‎ ‎(3)＝.‎ ‎(1)(2014·重庆，1)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)(2014·课标Ⅱ，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i ‎(3)(2013·重庆，11)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．‎ ‎【解析】　(1)i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，对应复平面上的点为(2，1)，在第一象限．‎ ‎(2)因为z1＝2＋i，所以z1在复平面内对应点的坐标为(2，1)，该点关于虚轴的对称点为(－2，1)，所以z2＝－2＋i，z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－1－4＝－5.‎ ‎(3)方法一：z＝＝＝＝2＋i，‎ 所以|z|＝＝.‎ 方法二：|z|＝＝＝＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A　(3) ‎ 与复数几何意义、模有关的解题技巧 ‎(1)只要把复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．‎ ‎(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．‎ ‎(1)(2013·广东，3)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)‎ A．(2，4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4，2)‎ ‎(2)(2011·辽宁，1)a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ ‎(1)【答案】　C　由iz＝2＋4i，得z＝＝4－2i，∴z对应的点的坐标是(4，－2)．故选C.‎ ‎(2)【答案】　B　∵＝＝＝2，‎ ‎∴a＝±.又a>0，∴a＝.故选B.‎ ‎1．(2015·四川德阳二模，2)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于(　　)‎ A. B. C．－ D．2‎ ‎【答案】　C　＝＝－i.‎ 由＝，得b＝－.‎ ‎2．(2014·河南洛阳统考，2)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)‎ A. B．2 C. D．1‎ ‎【答案】　A　方法一：|(1－z)·|＝|1－z|||＝|2＋i||－1＋i|＝·＝.‎ 方法二：|(1－z)·|＝|－z·|＝|－1＋i－2|＝|－3＋i|＝＝.‎ ‎3．(2015·河北衡水质检，2)已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】　D　设＝k，则z1＝kz2，‎ 所以m＋2i＝k(3－4i)，‎ 故解得m＝－.‎ 思路点拨：设出两个复数的比值为k，得到两个复数相等，根据实部和虚部分别相等，得到关于参数的方程组，解方程组即可．‎ ‎4．(2015·山东青岛一模，1)复数在复平面内的对应点到原点的距离为(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎【答案】　B　∵＝＝＋i，对应点为，此点到原点的距离为＝，故选B.‎ ‎5．(2014·云南昆明调研，3)若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝(　　)‎ A．i B．－i C．2i D．－2i ‎【答案】　A　∵z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，‎ ‎∴解得m＝0.‎ ‎∴z＝－i，∴＝＝i.‎ ‎6．(2015·山西太原三模，4)若z＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan的值为(　　)‎ A．－7 B．－ C．7 D．－7或－ ‎【答案】　A　由于z＝sin θ－＋i是纯虚数，故sin θ＝，cos θ≠，‎ ‎∴cos θ＝－.‎ 故tan θ＝－.‎ ‎∴tan＝＝－7，故选A.‎ ‎7．(2015·陕西西安模拟，2)在复平面内，复数3－4i，i(2＋i)对应的点分别A，B，则线段AB的中点C对应的复数为(　　)‎ A．－2＋2i B．2－2i C．－1＋i D．1－i ‎【答案】　D　∵i(2＋i)＝－1＋2i，‎ ‎∴复数3－4i，i(2＋i)对应的点A，B的坐标分别为A(3，－4)，B(－1，2)．‎ ‎∴线段AB的中点C的坐标为(1，－1)．‎ 则线段AB的中点C对应的复数为1－i.故选D.‎ ‎8．(2015·河南郑州一模，13)若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m为实数，i为虚数单位)是纯虚数，则m＝________．‎ ‎【解析】　∵复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m为实数，i为虚数单位)是纯虚数，‎ ‎∴m2－5m＋6＝0且m2－3m≠0，‎ 解得m＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎9．(2014·山东潍坊二模，13)如果3

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