北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析

北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析

石景山区 2020 届高三第一学期期末 数学 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】因为集合 ， ， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2.复数 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象 限 【答案】A 【解析】 【分析】 先对复数 进行化简，然后得到其共轭复数 ，再找到其再复平面对应的点，得到答案. 【详解】 ， 所以 { }0 2A x x= ≤ ≤ { }1,0,2,3B = − A B = { }0,1,2 { }0,2 { }1,3− { }1,0,1,2,3− { }0 2A x x= ≤ ≤ { }1,0,2,3B = − { }0,2A B = 2 1 iz = + z z ( ) 2 2 12 11 1 iz ii i −= = = −+ − 1z i= + 在复平面对应的点为 ，在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题. 3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断四个选项中的函数的奇偶性和在 上的单调性，得到答案. 【详解】选项 A 中， ，是奇函数，但在 上单调递增，不满足要求； 选项 B 中， ，是偶函数，不满足要求， 选项 C 中， ，是奇函数，在 上单调递减，满足要求； 选项 D 中， ，是偶函数，不满足要求. 故选：C. 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题. 4.已知向量 ， ，若 ，则实数 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量坐标的线性运算得到 ，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于 的方程，解 出 的值，得到答案. 【详解】因为向量 ， 所以 ， z ( )1,1 3( )f x x= ( ) lg | |f x x= ( )f x x= − ( ) cosf x x= ( )0,1 ( ) 3f x x= ( )0,1 ( ) lgf x x= ( )f x x= − ( )0,1 ( ) cosf x x= ( )5,a m= ( )2, 2b = − ( )a b b− ⊥   m = a b−  m m ( )5,a m= ( )2, 2b = − ( )3, 2a b m+ = +  因为 ， 所以 所以 解得 . 故选：B. 【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题. 5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石 【答案】B 【解析】 【详解】设夹谷 石，则 ， 所以 ， 所以这批米内夹谷约为 石，故选 B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 【此处有视频，请去附件查看】 6.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别对 ， ， 与特殊值 或 进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， ( )a b b− ⊥   ( ) 0a b b− ⋅ =   ( )6 2 2 0m− + = 1m = x 28 1534 254 x = 1534 28 169.1254x ×= ≈ 169 3log 4a = log 3b π= 5c = a b c a b c< < a c b< < b c a< < b a c< < a b c 1 2 3 3 31 log 3 log 4 log 9 2= < < = 1 2a< < log 3 log 1π π π< = 1b< 5 4 2> = 2>c 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题. 7.艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从 7 个原 始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分．5 个有效评分与 7 个原始评分 相比，不变的数字特征是( ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案. 【详解】从 7 个原始评分去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分， 其平均数、极差、方差都可能会发生改变， 不变的数字特征数中位数. 故选：A. 【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题. 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方 体体积的比值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 b a c< < 1 8 1 7 1 6 1 5 【分析】 根 据 三 视 图 还 原 出 几 何 体 ， 得 到 是 在 正 方 体 中 ， 截 去 四 面 体 ，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案. 【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述， 得到是在正方体 中，截去四面体 设正方体的棱长为 ， 则 ， 故剩余几何体的体积为 ， 所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为 . 故选：C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公 式解答，属于简单题. 9.在等差数列 中，设 ，则 是 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 举出特殊数列的例子，即可排除选项． 【详解】若等差数列为 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1A A B D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1A A B D− a 1 1 1 3 31 1 1 3 2 6A A B DV a a− = × = 3 3 31 5 6 6a a a− = 1 5 { }na *, , ,k l p r N∈ k l p r+ > + k l p ra a a a+ > + 1 2 3 4 55, 4, 3, 2, 1 ..a a a a a= = = = = … 则当 时， 成立，但 不成立，所以非充 分条件 当 时， 成立，但 不成立，所以非必要 条件 综上可知， 是 的既非充分非必要条件 所以选 D. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应 用，属于基础题． 10.关于曲线 ．给出下列三个结论： ① 曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数 点） ② 曲线 上任意一点到原点的距离都不大于 ③ 曲线 上任意一点到原点的距离都不小于 2 其中，正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将曲线 ，看成关于 的方程，利用方程有解，得到 的范围，再分别研 究对应的整数 和 的情况；根据基本不等式，得到 的范围，从而判断出曲线 上 一点到原点的距离范围. 【详解】曲线 ，看成关于 的二次方程 则 ，得 所以整数 的取值为 ， 当 时， 或 ，满足题意 当 时， 不是整数，不满足题意 当 时， 或 ，满足题意 的 1, 5, 2, 3k l p r= = = = k l p r+ > + k l p ra a a a+ > + 1, 2, 3, 4k l p r= = = = k l p ra a a a+ > + k l p r+ > + k l p r+ > + k l p ra a a a+ > + :C 2 2 4x xy y+ + = C 6 C 2 2 C :C 2 2 4x xy y+ + = y x x y 2 2x y+ C :C 2 2 4x xy y+ + = y ( )2 24 4 0x x∆ = − − > 2 16 3x < x 2, 1,0,1,2− − 2x = − 0y = 2y = 1x = − y 0x = 2y = 2y = − 当 时， 不是整数，不满足题意 当 时， 或 ，满足题意 故曲线 过的整点为 ， ， ， ， ， ，共 6 个， 故命题①正确. ， 当 时， ，即 ， 得 ，即 当且仅当 或 时，等号成立 所以得曲线 上任意一点到原点的距离都不大于 ，命题②正确. 当 时， ，即 ， 得 ，即 ， 当且仅当 或 时，等号成立 所以得曲线 上任意一点到原点的距离都不小于 ，故命题③错误； 故选：C 【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题. 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 11.在 的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 【答案】-160 【解析】 试 题 分 析 ： ， 由 得 ： r=3 ， 所 1x = y 2x = 0y = 2y = − C ( )2,0− ( )2,2− ( )0,2 ( )0, 2− ( )2,0 ( )2, 2− ( )2 24 x y xy− + = 0xy < 2 2 2 x yxy +≥ − ( ) 2 2 2 24 2 x yx y +− + ≥ − 2 2 8x y+ ≤ 2 2 2 2x y ≤+ 2,2 −== yx 2, 2x y= − = C 2 2 0xy ≥ 2 2 2 x yxy ≤ + ( ) 2 2 2 24 2 x yx y ≤ +− + 2 2 8 3x y+ ≥ 2 2 2 6 3x y+ ≥ 2 3 3x y= = 2 3 3x y= = − C 2 6 3 62( )x x − ( )6- 6-2 +1 6 6 2= - = -2 r rr r r r rT C x C xx      6-2 =0r ． 考点：二项式定理． 点评：熟记二项展开式的通项公式： ．此通项公式集中体现 了二项展开式中的指数、项数、系数的变化． 12.双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为_________________； 【答案】1 【解析】 试题分析：由双曲线方程可知 ，则 ，即 ， 所 以 焦 点 为 ， 渐 近 线 为 ． 所 以 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 ． 考点：1 双曲线的基本性质；2 点到线的距离． 13.已知数列 为等比数列， ， ，则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到 ，从而得到关于 的方程，解出 的值，得到 答案. 【详解】因为数列 为等比数列， 所以 ， 即 ， 解得 . 故答案为： . ( ) 3 6 6-2 =-8 =-160r rC C - +1= ( =0,1,2, )r n r r r nT C a b r n…， 2 2 13 x y− = 2 23, 1a b= = 2 2 2 4c a b= + = 3, 1, 2a b c= = = ( )2,0± 3 3y x= ± 2 3 23 1 3( ) 13 d × = = + { } *( )na n n+ ∈N 1 1a = 2 2a = 3a = 5 ( ) ( )( )2 2 1 32 1 3a a a+ = + + 3a 3a { } *( )na n n+ ∈N ( ) ( )( )2 2 1 32 1 3a a a+ = + + ( ) ( )( )2 32 2 1 1 3a+ = + + 3 5a = 5 【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题. 14.已知平面 ．给出下列三个论断：① ；② ；③ ∥ ．以其中 两个 论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ 【答案】①③ ②或②③ ① 【解析】 【分析】 根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案. 【详解】由 ， ∥ ，可得 故①③ ②， 由 ， ∥ ，可得 故②③ ①， 由 ， ， 则平面 与平面 可以平行和可以相交， 故①② ③. 故答案为：①③ ②或②③ ① 【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题. 15.在 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 的值为_______. 【答案】 【解析】 试题分析：∵ 代入 得 ，由余弦定 理得 ． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论． 【此处有视频，请去附件查看】 16.已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ， 的, ,α β γ α β⊥ α γ⊥ β γ ⇒ ⇒ α β⊥ β γ α γ⊥ ⇒ α γ⊥ β γ α β⊥ ⇒ α β⊥ α γ⊥ β γ  ⇒ ⇒ ABC∆ A B C a b c 1 ,2sin 3sin4b c a B C− = = cos A 1 4 − 32sin 3sin , 2 3 , ,2B C b c b c= ∴ = ∴ = 1 4b c a− = 2a c= 2 2 2 1cos 2 4 b c aA bc + −= = − 1e 2e α O α α P 当 时，则称有序实数对 为点 的广义坐标，若点 、 的广义坐标分 别为 、 ，对于下列命题: ① 线段 的中点的广义坐标为 ② 向量 平行于向量 的充要条件是 ③ 向量 垂直于向量 的充要条件是 其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号） 【答案】①② 【解析】 分析】 根据定义，分别写出 中点 的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标 表示进行判断，得到答案. 【详解】点 、 的广义坐标分别为 、 可得 ， 设 为 中点，则 所以线段 的中点的广义坐标为 ，故命题①正确 向量 平行于向量 ，则 即 ， 所以 ，故命题②正确， 向量 垂直于向量 ，则 即 ，故命题③不一定正确. 故答案为：①②. 【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查 理解推理能力，属于中档题. 【 1 2OP xe ye= +  ( , )x y P A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y AB 1 2 1 2( , )2 2 x x y y+ + OA OB 1 2 2 1x y x y= OA OB 1 2 1 2 0x x y y+ = AB M A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1 1 2OA x e y e= +   2 1 2 2OB x e y e= +   M AB ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x x y yOM OA OB e e + += + = +     AB 1 2 1 2( , )2 2 x x y y+ + OA OB OA OBλ=  ( ) ( )1 1 2 2, ,x y x yλ= 1 2 2 1x y x y= OA OB 0OA OB⋅ =  ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 0x e y e x e y e+ ⋅ + =    ( )2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 0x x e x y x y e e y y e+ + + =   三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.已知函数 . （Ⅰ）若 ，且 ，求 的值； （Ⅱ）求函数 的最小正周期，及函数 的单调递减区间. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最小正周期 . . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据 以及 的范围，得到 ，代入到 中，得到答案；（Ⅱ）对 进行整理化简，得到 ，根据正弦型函数的图像和性质，求 出其周期和单调减区间. 【详解】解：（Ⅰ）因为 ，且 ， 所以 . 所以 . （Ⅱ） 所以函数 的最小正周期 . 由 ， 解得 . 1( ) cos (sin cos ) 2f x x x x= + − π0 2 α< < 3sin 5 α = ( )f α ( )f x ( )f x ( ) 31 50f α = π π 5ππ π+8 8k ,k ,k + ∈   Z 3sin 5 α = α cosα ( )f α ( )f x ( ) 2 sin 22 4f x x π = +   0 ,2 πα< < 3sin 5 α = 2 41 5cos sinα α= − = ( ) 4 3 4 1 28 1 31=5 5 5 2 25 2 50f α  = + − = −   ( ) ( ) 1cos sin cos 2f x x x x= + − 2 1cos sin cos 2x x x= ⋅ + − 1 1 cos2 1sin 22 2 2 xx += + − ( )1 sin 2 cos22 x x= + 2 sin 22 4x π = +   ( )f x 2π π2T = = π π 3π2 π 2 2 π+ ,2 4 2k x k k Z+ ≤ + ≤ ∈ π 5ππ π+ ,8 8k x k k Z+ ≤ ≤ ∈ 所以函数 的单调递减区间 . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数 进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题. 18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6 点”获得 15 分， 出现三次“6 点”获得 120 分，没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得－12 分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6 点”的次数为 X，求 X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率； （Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而 减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先得到 可能的取值为 ， ， ， ，根据每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 ， 得到 每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得 15 分的概率，从而 得到两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为 ，得到 的分布列和 数学期望，从而得到结论. 【详解】解：（Ⅰ） 可能的取值为 ， ， ， . 每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 . ， ， ， ， 所以 X 的分布列为： 0 1 2 3 （Ⅱ）设每盘游戏没有得到 15 分为事件 ， ( )f x π 5ππ π+8 8k ,k ,k + ∈   Z 95 144 X 0 1 2 3 1 6p = X Y Y X 0 1 2 3 1 6p = 0 3 3 1 125( 0) (1 )6 216P X C= = − = 1 2 3 1 1 75( 1) (1 )6 6 216P X C= = ⋅ − = 2 2 3 1 1 15( 2) ( ) (1 )6 6 216P X C= = ⋅ − = 3 3 3 1 1( 3) ( )6 216P X C= = = X P 125 216 25 72 5 72 1 216 A 则 . 设“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”为事件 ， 则 因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为 . （Ⅲ）设每盘游戏得分为 . 由（Ⅰ）知， 的分布列为： Y -12 15 120 P 的数学期望为 . 这表明，获得分数 的期望为负． 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题. 19.已知在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是正三角形， CD⊥平面 PAD，E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面 ； （Ⅱ）求平面 EFG 与平面 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，若存在，求线 段 的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）不存在，见解析 ( ) 125 1 7 216 216 12P A = + = B ( )P B = ( ) 2 2 7 951 1 12 144P A  −   = − =     95 144 Y Y 125 216 5 12 1 216 Y 125 5 1 512 15 120216 12 216 36EY = − × + × + × = − Y P ABCD− ABCD 4 PAD△ ABCD ABCD PA M GM EFG π 6 PM π 3 【解析】 【分析】 （Ⅰ）正三角形 中 ，由 平面 得到 ，所以得到 面 ；（Ⅱ）以 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面 的法向量，和平面 的法向量，从而得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，再得到所求 的角；（Ⅲ）线段 上存在满足题意的点 ，直线 与平面 法向量的夹角为 ， 设 ， ，利用向量的夹角公式，得到关于 的方程，证明方程无解，从 而得到不存在满足要求的点 . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△ 是正三角形， 是 的中点， 所以 . 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 . ， 平面 ， 所以 面 . （Ⅱ）如图，以 点为原点分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间 直角坐标系. 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 所以 ，即 令 ，则 ， PAD PO ⊥ AD CD ⊥ PAD PO ⊥ CD PO ⊥ ABCD O EFG ABCD EFG ABCD PA M GM EFG 3 π PM PAλ=  [ ]0,1λ ∈ λ M PAD O AD PO ⊥ AD CD ⊥ PAD PO ⊂ PAD PO ⊥ CD AD CD D= AD CD ⊂， ABCD PO ⊥ ABCD O OA OG OP x y z (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), ( 2,4,0), ( 2,0,0), (0,4,0), (0,0,2 3)O A B C D G P− − ( 1,2, 3), ( 1,0, 3)E F− − (0, 2,0), (1,2, 3)EF EG= − = −  EFG ( , , )m x y z= 0 0 EF m EG m  ⋅ =  ⋅ =     2 0, 2 3 0, y x y z − = + − = 1z = ( 3,0 1)m = ， 又平面 的法向量 ， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 所以 . 所以平面 与平面 所成锐二面角为 . （Ⅲ）假设线段 上存在点 ， 使得直线 与平面 所成角为 ， 即直线 与平面 法向量 所成的角为 ， 设 ， ， ， 所以 所以 ， 整理得 ， ，方程无解， 所以，不存在这样的点 . 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在 性问题. 20.已知函数 .（ ） （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若 ， 的图象与 轴交于点 ，求 在点 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当 时， 恒成立． 【答案】（Ⅰ） 时， 单调增区间为 ，无单调减区间， 时， 单调增区间为 ，单调减区间为 . ABCD (0,0,1)n = EFG ABCD θ ( )2 2 1 1cos 23 1 1 m n m n θ ⋅ = = = + ×     EFG ABCD π 3 PA M GM EFG 6 π GM EFG m 3 π PM PAλ=  [ ]0,1λ ∈ ,GM GP PM GP PAλ= + = +     ( )( )2 , 4,2 3 1GM λ λ= − − 2 3cos cos ,3 2 4 6 7 GM m π κ λ = = − +   22 3 2 0λ λ− + = ∆ < 0 M ( ) xf x e ax= − a R∈ ( )f x 3a = ( )f x y A ( )y f x= A 0x > 2( ) 3 1f x x x> − + 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞ （Ⅱ） （Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）对 求导，得到 ，对 按照 和 进行分类讨论，研究 的正 负，从而得到 的单调区间；（Ⅱ）将 代入 ，得到切线斜率，点斜式写出 切线方程；（Ⅲ）令 ，得到 ，令 ，得 到 ，从而得到 ，得到 在 上单调递增，即 ，从而使得原命题得证. 【详解】解：（Ⅰ） ， 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增， 当 时，令 ，解得 . 当 变化时， ， 变化情况如下表： – 0 + 减 极小值 增 所以 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上所述， 时， 单调增区间为 ，无单调减区间， 时， 单调增区间为 ，单调减区间为 . （Ⅱ） 时， 令 ，得 ，则 ， 因为 ，所以 ， 的 2 1y x= − + ( )f x ( )f x′ a 0a ≤ 0a > ( )f x′ ( )f x 0x = ( )f x′ ( ) 2( ) ( 3 1)g x f x x x= − − + ( ) 2xg x e x′ = − ( ) ( )h x g x′= ( ) 2xh x e′ = − ( ) ( )ln2 0h x h≥ > ( )g x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )0 1 0 1 0g x g> = − − = ( ) xf x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= x ( )f x′ ( )f x x ( ,ln )a−∞ ln a (ln , )a +∞ ( )f x′ ( )f x 0a > ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞ 3a = ( ) 3xf x e x= − 0x = 1y = ( )0,1A ( ) e 3xf x′ = − ( )0 1 3 2f ′ = − = − 所以在 点处的切线方程为 ，即 . （Ⅲ）证明：令 ， 则 . 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增； 所以 ， 即 恒成立. 所以 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ， 即当 时， 恒成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切 线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题. 21.已知椭圆 过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程，并求其离心率； （Ⅱ）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），直线 关于 的对称直线 与椭圆交于另一点 ．设 为坐标原点，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 【答案】（Ⅰ） ，离心率 ．（Ⅱ）直线 与直线 平行．见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将点 代入到椭圆方程，解得 的值，根据 ，得到 的值，从而求 A 1 2( 0)y x− = − − 2 1y x= − + ( ) 2 2( ) ( 3 +1) = e 1xg x f x x x x= − − − − ( ) 2xg x e x′ = − ( ) e 2xh x x= − ( ) 2xh x e′ = − 0 ln2x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ln2x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( ) ln2ln2 e 2ln2 2 2ln2 0h x h≥ = − = − > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )0 1 0 1 0g x g> = − − = 2e 1 0x x− − > 0x > ( ) 2 3 1f x x x> − + 2 2 2: 12 x yC a + = (2,1)P C P x l A C A l PA l PB B O AB OP 2 2 18 2 x y+ = 3 2 AB OP ( )2,1 a 2 2c a b= − c 出离心率；（Ⅱ）直线 ， ，点 ， ，将直线与椭圆联立，得到 和 ，从而得到 的斜率，得到 ，得到 直线 与直线 平行． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆 过点 ， 可得 ，解得 ． 所以 ， 所以椭圆 的方程为 ，离心率 ． （Ⅱ）直线 与直线 平行． 证明如下：由题意，设直线 ， ， 设点 ， ， 由 得 ， 所以 ，所以 ， 同理 ， 所以 ， 由 ， ， 有 ， 因为 在第四象限，所以 ，且 不在直线 上，所以 ， 又 ，故 ，所以直线 与直线 平行. : 1 ( 2)PA y k x− = − : 1 ( 2)PB y k x− = − − A ( )1 1,x y B ( )2 2,x y 1x 2x AB AB OPk k= AB OP 2 2 2: 12 x yC a + = (2,1)P 2 4 1 12a + = 2 8a = 2 2 2 8 2 6c a b= − = − = C 2 2 18 2 x y+ = 6 3 22 2 e = = AB OP : 1 ( 2)PA y k x− = − : 1 ( 2)PB y k x− = − − A ( )1 1,x y B ( )2 2,x y 2 2 18 2 2 1 x y y kx k  + =  = − + ( ) ( )2 2 24 1 8 1 2 16 16 4 0k x k k x k k+ + − + − − = 1 2 8 (2 1)2+ 4 1 k kx k −= + 2 1 2 8 8 2 4 1 k kx k − −= + 2 2 2 8 +8 2 4 1 k kx k −= + 1 2 2 16 4 1 kx x k − = − + 1 1 2 1y kx k= − + 2 2 2 1y kx k= − + + 1 2 1 2 2 8( ) 4 4 1 ky y k x x k k − = + − = − + A 0k ≠ A OP 1 2 1 2 1 2AB y yk x x −= =− 1 2OPk = AB OPk k= AB OP 【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档 题. 22.已知由 个正整数构成的集合 ，记 ，对于任意不大于 的正整数 ，均存在集合 的一个子集，使得该 子集的所有元素之和等于 m. （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求证：“ 成等差数列”的充要条件是“ ”； （Ⅲ）若 ，求 的最小值，并指出 取最小值时 的最大值. 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ） 的最小值为 11，此时 的最大 值 . 【解析】 【分析】 （ Ⅰ ） 和 时 ， 根 据 的 定 义 ， 以 及 集 合 的性质，得到答案；（Ⅱ）必要性： ，可得 ，充分性：由条件可得 ，从而有 ，当且仅当 时， 等号成立，从而得证；（Ⅲ）含有 个元素的非空子集个数有 ，当 时，不满足 题 意 ， 当 时 ， 集 合 ， 可 以 表 示 共 个正整数，满足题意，由 并且 得 到 ，结合 ，得到 的最大值 【详解】解:（Ⅰ） 时，由条件知 ，必有 ，又 均为整数， . 时，由条件知 ，由 的定义及 均为整数，必有 ， . （Ⅱ）必要性：由“ 成等差数列”及 , *( )n n∈N 1 2 1 2{ , , , }( , 3)n nA a a a a a a n= < < <  ≥ 1 2A nS a a a= + + + AS m A 1 2,a a 1 2, , , na a a ( 1) 2A n nS += 2020AS = n n na 1 1a = 2 2a = n na 1010 1m = 2m = AS 1 2 1 2{ , , , }( , 3)n nA a a a a a a n= < < <  ≥ ia i= ( )1 12AS n n= + ia i≥ 1 ( 1)2AS n n≥ + ia i= n 2 1n − 10n = 11n = { }1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A = 1,2,3, ,2046,2047 2047 10 11 2020S a+ = 10 111S a+ ≥ 11 2021 2a ≤ * 11a N∈ na 1010 1m = 1 AS≤ 1 A∈ 1 2 na a a< < < 1 1a = 2m = 2 AS≤ AS 1 2 na a a< < < 2 A∈ 2 2a = 1 2, , , na a a 1 1a = 2 2a = 得 此时 满足题目要求 从而 . 充分性：由条件知 且均为正整数，可得 故 ，当且仅当 时，上式等号成立. 于是当 时， ，从而 成等差数列. 所以“ 成等差数列”的充要条件是“ ”. （Ⅲ）由于含有 个元素的非空子集个数有 ， 故当 时， ， 此时 的非空子集的元素之和最多表示 个不同的整数 ，不符合要求. 而用 个元素的集合 的非空子集的元素之和 可以表示 共 个正整数. 因此当 时， 的最小值为 11. 记 则 并且 . 事实上若 ， ，则 ， ， 所以 时无法用集合 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是 ，得 ， ，所以 . 当 时 满足题意 所以当 时， 的最小值为 11，此时 的最大值 . 【点睛】本题考查集合与数列的新定义，求数列中的项，等差数列的条件证明，考查求数列 的项数的最小值和项的最大值，属于难题. ( 1,2, , )ia i i n= =  { }1,2,3, ,A n=  11 2 3 ( 1)2AS n n n= + + + + = + 1 2 ,na a a< < < ( 1,2,3, , ),ia i i n≥ =  11 2 3 ( 1)2AS n n n≥ + + + + = + ( 1,2,3, , )ia i i n= =  1 ( 1)2AS n n= + ( 1,2,3, , )ia i i n= =  1 2, , , na a a 1 2, , , na a a 1 ( 1)2AS n n= + n 2 1n − 10n = 102 1 1023− = A 1023 m 11 { }1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A = 1,2,3, ,2046,2047 2047 2020AS = n 10 1 2 10S a a a= + + + 10 11 2020S a+ = 10 111S a+ ≥ 10 111S a+ < 10 11 112020 2S a a= + < 11 1010a > 10 11 1010S a< < 1010m = A 10 11 112020 2 1S a a= + ≥ − 11 2021 2a ≤ * 11a N∈ 11 1010a ≤ 11 1010a = { }1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010A = 2020AS = n na 1010