四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高一下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高一下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高一第四学月考试 文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.化成弧度制为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.sin‎11π‎3‎的值为 ‎ A. ‎-‎‎3‎‎2‎ B. ‎-‎‎1‎‎2‎ C. ‎1‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎2‎ ‎3.为了得到函数y=sin(2x−π‎3‎)‎的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点 A. 向左平行移动π‎3‎个单位长度 B. 向右平行移动π‎3‎个单位长度 C. 向左平行移动π‎6‎个单位长度 D. 向右平行移动π‎6‎个单位长度 ‎4.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是 ‎ A. y=tan2x B. ‎y=‎sinx C. y=sinπ‎2‎‎+2x D. ‎y=cos‎3π‎2‎‎−2x ‎5.已知与的夹角为，，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在等差数列中，若前10项的和，且，则 ‎ A．4 B．-4 C．5 D．-5‎ ‎7.已知，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎9.中，角所对的边分别为．若，则边 ‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎10.已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.函数f(x)=cos2x+6cos(π‎2‎−x)‎的最大值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎12.已知，点在内，且与的夹角为，‎ 设，则的值为 A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量，，且，则的值为________.‎ ‎14.若，则________.‎ ‎15.设各项都是正数的等比数列{}，Sn为前n项和，且S10=10，S30=70，那么S40=______‎ ‎16.已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m），若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是__．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）已知函数.‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎18.（12分）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。‎ ‎19.（12分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=8‎，c−‎1‎‎3‎b=acosB.‎ ‎（I）若ΔABC有两解，求b的取值范围；‎ ‎（II）若ΔABC的面积为‎8‎‎2‎，B>C，求b−c的值.‎ ‎20.（12分）若数列{}的前n项和Sn=2-2．‎ ‎（I）求数列{}的通项公式；‎ ‎（II）若bn=•log，Sn=b1+b2+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）＜0恒成立，试求实数m的取值范围．‎ ‎21.（12分）已知函数f(x)=‎2‎x−a‎2‎x(a∈R)‎.‎ ‎（I）若f(x)‎在‎[1,2]‎上是减函数，求a的取值范围；‎ ‎（II）设a=−1‎，g(x)=f(x)−m⋅‎2‎x+‎4‎‎3‎m，若函数g(x)‎有且只有一个零点，求实数m的取值范围.‎ ‎22.（12分）已知a‎→‎‎=(1−cosx,2sinx‎2‎),b‎→‎=(1+cosx,2cosx‎2‎)‎ ‎（I）若f(x)=2+sinx−‎1‎‎4‎|a‎→‎−b‎→‎‎|‎‎2‎,‎求f(x)‎的表达式；‎ ‎（II）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；‎ ‎(III)若h(x)=g(x)−λf(x)+1‎在‎[−π‎2‎,π‎2‎]‎上是增函数，求实数l的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高一第四学月考试 文科数学试题答案 ‎1-5：AADDA 6-10:CACCA 11-12:BC ‎13. 14. 15.150 16.‎ ‎17.1，‎ 因此，函数的最小正周期为；‎ ‎（2），，‎ 当时，函数取得最小值；‎ 当时，函数取得最大值.‎ ‎18.（1）设的公比为.由题设可得 ，解得， .‎ 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 由于，‎ 故， ， 成等差数列.‎ 点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎19.（1）∵c-‎1‎‎3‎b=acosB，∴sinC-‎1‎‎3‎sinB=sinAcosB，‎ ‎∴sinAcosB+sinBcosA-‎1‎‎3‎sinB=sinAcosB.即sinBcosA=‎1‎‎3‎sinB ‎∵sinB≠0‎，∴cosA=‎‎1‎‎3‎，∴sinA=‎‎2‎‎2‎‎3‎.若ΔABC有两解，∴bsinA<8C，∴b-c=4‎‎2‎.‎ ‎20.（1）由Sn＝2﹣2，得当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣2，两式相减，得＝2﹣2，‎ ‎∴当n≥2时，＝2，又n＝1时，S1＝a1＝2a1﹣2，a1＝2，‎ 则{}是首项为2，公比为2的等比数列，∴＝2n．‎ ‎（2）bn＝2n•log2n＝﹣n•2n，‎ ‎∴﹣Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n•2n，①‎ ‎∴﹣2Sn＝1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，②‎ ‎①﹣②，得Sn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣n•2n+1﹣2．‎ 由Sn+（n+m）an+1＜0，得2n+1﹣n×2n+1﹣2+n×2n+1+m×2n+1＜0对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴m•2n+1＜2﹣2n+1，即m＜﹣1对任意正整数n恒成立．∵﹣1＞﹣1，‎ ‎∴m≤﹣1，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．‎ ‎21.（1）由题设，若f(x)‎在‎[1,2]‎上是减函数，‎ 则任取x‎1‎，x‎2‎‎∈[1,2]‎，且x‎1‎‎<‎x‎2‎，都有f(x‎1‎)>f(x‎2‎)‎，即f(x‎1‎)-f(x‎2‎)>0‎成立.‎ ‎∵f(x‎1‎)-f(x‎2‎)=‎ ‎‎2‎x‎1‎‎-a‎2‎x‎1‎-(‎2‎x‎2‎-a‎2‎x‎2‎)=(‎2‎x‎1‎-‎2‎x‎2‎)+‎a(‎2‎x‎1‎-‎2‎x‎2‎)‎‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎ ‎=(‎2‎x‎1‎-‎2‎x‎2‎)(1+a‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎)‎‎ ‎=(‎2‎x‎1‎-‎2‎x‎2‎)⋅‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎+a‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎>0‎.‎ 又y=‎‎2‎x在R上是增函数，且y>0‎，∴由x‎1‎‎<‎x‎2‎，得‎2‎x‎1‎‎<‎‎2‎x‎2‎，‎ 即‎2‎x‎1‎‎-‎2‎x‎2‎<0‎，且‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎>0‎.‎ ‎∴只须‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎+a<0‎，解a<-‎‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎.‎ 由x‎1‎，x‎2‎‎∈[1,2]‎，且x‎1‎‎<‎x‎2‎，知x‎1‎‎+x‎2‎∈(2,4)‎，‎ ‎∴‎4<‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎<16‎，即‎-16<-‎2‎x‎1‎‎+‎x‎2‎<-4‎，∴a≤-16‎.‎ 所以f(x)‎在‎[1,2]‎上是减函数，实数a的取值范围是‎(-∞,-16]‎.‎ ‎（2）由题知方程‎2‎x‎+‎1‎‎2‎x=m⋅‎2‎x-‎4‎‎3‎m有且只有一个实数根，‎ 令t=‎2‎x>0‎，则关于t的方程‎(m-1)t‎2‎-‎4‎‎3‎mt-1=0(*)‎有且只有一个正根.‎ 若m=1‎，则t=-‎‎3‎‎4‎，不符合题意，舍去；‎ 若m≠1‎，则方程‎(*)‎两根异号或有两个相等的正根.‎ 方程‎(*)‎两根异号等价于Δ>0,‎‎-1‎m-1‎‎<0,‎解得m>1‎；‎ 方程‎(*)‎有两个相等的正根等价于Δ=0,‎‎-‎-‎4‎‎3‎m‎2(m-1)‎>0,‎解得m=-3‎；‎ 综上所述，实数a的取值范围为‎{-3}∪(1,+∞)‎.‎ ‎22(1) ‎f(x)=2+sinx-cos‎2‎x-1+sinx=sin‎2‎x+2sinx ‎(2)若函数y=f (x)图象上任一点M(x‎0‎,y‎0‎)‎ 关于原点的对称点为N(x,y)‎，则x‎0‎‎=-x,y‎0‎=-y 因为点M在函数y=f (x)图象上，则‎-y=sin‎2‎(-x)+2sin(-x),∴y=-sin‎2‎x+2sinx ‎∴g(x)=-sin‎2‎x+2sinx ‎ (3) ‎h(x)=-(1+λ)sin‎2‎x+2(1-λ)sinx+1‎ 令sinx=t,(-1≤t≤1)，则h(t)=-(1+λ)t‎2‎+2(1-λ)t+1,(-1≤t≤1)‎‎ ‎当λ=-1时，h(t)=4t+1在‎-1，1‎上是增函数，∴λ=-1；‎ 当λ≠-1时，对称轴为t=‎1-λ‎1+λ,‎‎(1)当λ<-1时,‎1-λ‎1+λ≤-1,解得λ<-1；‎‎(2)当λ>-1时,‎1-λ‎1+λ≥-1,解得-1<λ≤0；‎ 综上所述，λ的取值范围是λ≤0.‎