2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年吉林省辽源市田家炳高级中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用交集运算即可得到结果． 【详解】 ∵集合 ， ∴ 故选：C 【点睛】 本题考查交集概念及运算，属于基础题． 2．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方 数大于 0，列出关于 的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域． 【详解】 解：由已知得 ，解得 或 ，故选：D。 【点睛】 此题属于以函数的定义域为平台，考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想， 是高考中的基本题型． 3．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D { } { }1 0,1,2 , 2 1A B x x= − = − < ≤， A B = {1} { }0,1 { }1 01− ，， { }1 01,2− ，， { } { }1 0,1,2 , 2 1A B x x= − = − < ≤， A B = { }1 01− ，， 2 6( ) 3 2 f x x x = − + [1,2] (1,2] (1,2) ( ,1) (2, )−∞ ∪ +∞ x 2 3 2 0x x− + > 1x < 2x > 3log 2a = 1 23b = 2 1log 3c = a b c> > b c a> > c b a> > b a c> > 【解析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较 与0 和 1 的大小 得答案． 【详解】 解： ， ， ， ∴ ． 故选：D． 【点睛】 本题考查指对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题． 4．若 ，则角 的终边在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【解析】结合三角函数在四象限对应的正负号判断即可 【详解】 ， 同号，所以角 的终边在第一、三象限 故选：B 【点睛】 本题考查根据三角函数正负判断角所在的象限，属于基础题 5．若 α 是第二象限角，且 ，则 （） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据角的范围可确定 ，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可 求得结果. 【详解】 是第二象限角 , ,a b c 1 023 3 1b = > = 3 3 30 log 1 log log2 13a= < = < = 2 23 1log log 1 0c = < = b a c> > sin cos 0α α⋅ > α sin cos 0α α⋅ > sin ,cosα α∴ α 2 2sin 3 α = tanα = 5− 6− 7− 2 2− cos 0α < α cos 0α∴ < 2 1cos 1 sin 3 α α∴ = − − = − 本题正确选项： 【点睛】 本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题. 6． 是奇函数，当 时， ，则 （ ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【解析】根据奇函数对称性特点进行求解即可 【详解】 是奇函数， ，当 时， ， 故选：D 【点睛】 本题考查奇函数具体函数值的求法，奇函数的对称性，属于基础题 7． （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用诱导公式即可求出． 【详解】 解： 故选：D． 【点睛】 本题考查利用诱导公式求特殊角的三角函数值，是基础题． 8．已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为 （ ） 2 2 sin 3tan 2 21cos 3 αα α∴ = = = − − D ( )f x 0x ≥ 2( ) log ( 2) 1f x x= + − ( )2f − = ( )f x ( ) ( )2 2f f∴ − = − 2x = 2(2) log (2 2) 1 1f = + − = ( ) ( )2 2 1f f∴ − = − = − ( )cos 2040− = 1 2 3 2 3 2 − 1 2 − ( ) ( ) 1cos 2040 cos 2040 +360 6 =cos(120 ) cos(180 120 ) cos60 2 − = − × = − − = − = −       ( ) af x x= ( )2, 2 ( )4f A． B．1 C．2 D．8 【答案】C 【解析】根据幂函数过点可求出幂函数解析式，即可计算求值. 【详解】 因为幂函数 的图象经过点 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了幂函数的解析式，属于容易题. 9． 的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在性定理进行判断即可 【详解】 ， ， ， ，根据零点存在性定理可得 ，则 的零点所在区间为 故选：C 【点睛】 本题考查零点存在性定理，属于基础题 10．若 是偶函数，且对任意 ∈ 且 ，都有 ， 则下列关系式中成立的是（ ） A． B． 1 2 ( ) af x x= ( )2, 2 2 2a= 1 2a = ( ) 1 2f x x= ( ) 1 24 4 2f = = 2( ) log 5f x x x= + − ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( )4,5 2 01(1) log 1 5 4f = + − = − < 2 02(2) log 2 5 2f = + − = − < 2 2g3(3) log 3 5 lo 2 03f = + − = − < 2 04(4) log 4 5 1f = + − = > 2 2(5) log 5 5 log 05 5f = + − = > ( ) ( )3 4 0f f⋅ < 2( ) log 5f x x x= + − ( )3,4 ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > C． D． 【答案】A 【解析】由于对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ，可得函数 f（x） 在（0，+∞）上单调递减，即可得出． 【详解】 ∵对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ， ∴函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减， 又∵ ， ∴ ， 又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣ ）＝f（ ）． ∴ ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题． 11．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】利用三角函数的定义，列出方程 ，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，可得 ， 根据三角函数的定义，可得 且 ，解得 . 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键， 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3 2 3 4 < < 1 2 3 2 3 4f f f                ＞ ＞ 2 3 2 3 1 2 3 2 3 4f f f     −          ＞ ＞ α ( , 6)P m − 4cos 5 α = − m = 8− 4− 2 4 536 m m = − + 2 2 2| | ( 6) 36r OP m m= = + − = + 2 4cos 536 m m α = = − + 0m < 8m = − 着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 m 满足 ，则 m 的取值范围是（ ） A． B． C．（0，2） D． 【答案】C 【解析】根据函数 为 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增，可得函数在 上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得。 【详解】 由题意，函数 为 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增， 函数 在 上单调递减， 解得 即 故选： 【点睛】 本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反 的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题。 二、填空题 13．函数 恒过定点的坐标为__________. 【答案】 【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标. 【详解】 函数 当 时, 所以定点坐标为 ( )f x ( ),0−∞ ( ) ( )1 1f m f− > − ( ),0−∞ ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ ( )2,+∞ ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )f x ( ),0−∞ ∴ ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1f m f− > − 1 1m∴ − < − 0 2m∴ < < ( )0,2m∈ C y log (2 5) 1ay x= − − ( )3, 1− log (2 5) 1ay x= − − 3x = log (2 3 5) 1 1ay = × − − = − ( )3, 1− 故答案为: 【点睛】 本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题. 14．已知函数 满足 ，则 ________. 【答案】 【解析】设 ，得到 ，从而得到 的解析式，再得到答案. 【详解】 因为函数 ， 设 ，得 ， 所以得到 所以 . 故答案为： 【点睛】 本题考查换元法求函数解析式，属于简单题. 15．函数 的值域是________． 【答案】 【解析】利用换元法，设 ，将求函数 的值域转化为求二次函数在 闭区间上的值域问题. 【详解】 因为函数 ， 设 ，则函数 的值域等价于求函数 的值域， 所以当 时， ， 当 时， . 所以函数 的值域为 . 故答案为： . 【点睛】 ( )3, 1− ( )f x ( ) 2 3xf e x= − ( )f x = ( )2ln 1 0x x− > 0xt e= > lnx t= ( )f t ( ) 2 3xf e x= − 0xt e= > lnx t= 0t > ( ) ( )2ln 3 0f t t t= − > ( ) ( )2ln 3 0f x x x= − > ( ) ( )2ln 3 0f x x x= − > ( ) ]14 2 1 2x xf x x+ = − ∈ −， ， [ ]18− ， 12 ( 4)2 xt t= ≤ ≤ ( )f x ( ) ]14 2 1 2x xf x x+ = − ∈ −， ， 12 ( 4)2 xt t= ≤ ≤ ( )f x 2 12 ( 4)2y t t t= − ≤ ≤ 1t = min 1y = − 4t = 2 max 4 8 8y = − = ( )f x [ ]18− ， [ ]18− ， 本题考查指数型函数的值域，考查换元法、转化与化归思想的应用，求解时要注意新元 的取值范围，才能保证问题的等价转化. 16．已知函数 ，若函数 有两不同的零点，则 实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数 有两个不同零点可以转化为函数 的图象与函数 的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果． 【详解】 令 ，所以 有两个不同的零点， 等价于函数 与 的图象有两个不同的零点， 如图，在同一坐标系中作出函数 与 的图象，由图象易知当 时， 两函数图象有两个交点． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查函数零点存在性定理．利用数形结合的思想方法是本题求解的关键．属于中档 题． 三、解答题 17．设集合 ， . （1）若 ，求 ； （2）当 时，求实数 的取值范围. ( ) 1 1, 12 3 ,0 12 x x f x x x   + ≥  =   < < ( ) ( )g x f x k= − k 31, 2      ( ) ( )= −g x f x k ( )y f x= y k= ( ) ( ) 0g x f x k= − = ( )f x k= ( )y f x= y k= ( )y f x= y k= 31 2k< < 3(1, )2 { }2| 3 18 0A x x x= − − ≤ { }| 8 4B x m x m= − ≤ ≤ + 3m = ( )RC A B∩ =A B A m 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） 时，确定集合 ，再对集合 化简，再得到 ，然后根据集合 的交集运算，得到答案；（2）根据 ，得到 ，从而得到关于 的不等式 组，解出 的取值范围. 【详解】 （1）因为 ，所以集合 集合 ， 所以 ， 所以 （2）因为 ，所以 ， 所以 ，解得 . 【点睛】 本题考查集合的补集和交集运算，根据交集结果求参数范围，属于简单题. 18．已知二次函数 ( ). （1）若 为偶函数，求 的值； （2）若 的解集为 ，求 a,b 的值; （3）若 在区间 上单调递增，求 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ， ；（3） 【解析】（1）利用偶函数的定义解得 a； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得 a、b 的值； （3）二次函数的单调性与对称轴相关，从而求得 a 的取值范围． 【详解】 解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）． 即（﹣x）2﹣a（﹣x）﹣3＝x2﹣ax﹣3， ∴2ax＝0 从而解得 a＝0． （2）∵f（x）＜0 的解集为{x|﹣3＜x＜b} [ 5, 3) (6,7]− − ∪ 2 5m≤ ≤ 3m = B A RC A =A B A A B⊆ m m 3m = { } [ ]| 5 7 5,7B x x= − ≤ ≤ = − { }2| 3 18 0A x x x= − − ≤ { } [ ]6| 3 3,6xx ≤ ≤= − = − ( ) ( ), 3 6,RC A = −∞ − +∞ ( ) [ 5, 3) (6,7]RC A B − −=  =A B A A B⊆ 8 3 4 6 m m − ≤ −  + ≥ 2 5m≤ ≤ 2( ) 3f x x ax= − − a R∈ ( )f x a ( ) 0f x < { 3 }x x b− < < ( )f x [ 2, )− +∞ 0a = 2a = − 1b = 4a ≤ − ∴﹣3 和 b 是方程 x2﹣ax﹣3＝0 的两根， ∴由根与系数关系得：﹣3+b＝a，﹣3×b＝﹣3； ∴a＝﹣2，b＝1． （3）∵f（x）的对称轴为 x 且 f（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增， ∴ ； ∴a≤﹣4． 【点睛】 本题属于基础题，涉及知识点是函数性质之奇偶性、一元二次不等式的解题、函数的单 调性，在解题时要注意二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系． 19．已知 ，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 原式的分子分母同除以 ,再把 代入求值即可; 原式的分子、分母同除以 ，再把 代入求值即可; 把要求的式子利用“1”的代换可得, ，将 代入求值即可. 【详解】 （1）∵ ，∴ . 原式的分子、分母同除以 ，得 原式 . 故答案为: （2）原式的分子、分母同除以 ，得 原式 . 2 a= 22 a ≤ − tan 3α = 4sin cos 3sin 5cos α α α α − + 2 2 2 2 sin 2sin cos cos 4cos 3sin α α α α α α − − − 2 23 1sin cos4 2 α α+ 11 14 2 23 − 29 40 ( )1 cosα tan 3α = ( )2 2cos α tan 3α = ( )3 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1sin + cos tan4 2 4 2 sin cos tan 1 α α α α α α + =+ + tan 3α = tan 3α = cos 0α ≠ cosα 4tan 1 4 3 1 11 3tan 5 3 3 5 14 α α − × −= = =+ × + 11 14 2cos α 2 2 2 tan 2tan 1 9 2 3 1 2 4 3tan 4 3 3 23 α α α − − − × −= = = −− − × 故答案为: （3）原式 . 故答案为: 【点睛】 本题考查利用同角三角函数的基本关系进行齐次式的化简求值问题;其中“1”的巧用把弦 化切是求解本题的关键;重点考查学生的运算能力;属于中档题,常考题型. 20．已知 ． （1）化简 ； （2）若 是第四象限角，且 ，求 的值． 【答案】(1) ；（2） . 【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理求得函数 的解析式． （2）利用诱导公式求得 sinα 的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得 cosα，代入 （1）中函数解析式求得答案． 【详解】 （l） ． （2）由 ，得 ， ∵ 是第四象限角， ∴ ， 2 23 − 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1sin cos tan 9 294 2 4 2 4 2 sin cos tan 1 9 1 40 α α α α α α + + × + = = = =+ + + 29 40 π 3πcos cos(2π ) sin2 2( ) 3πsin(π ) sin 2 f α α α α α α    + ⋅ − ⋅ −      =  − ⋅ +   ( )f α α π 1cos 2 4 α + =   ( )f α cosα− 15 4 − ( )f α π 3πcos cos(2π ) sin sin cos ( cos )2 2( ) cos3π sin ( cos )sin(π ) sin 2 f α α α α α αα αα αα α    + ⋅ − ⋅ −    − ⋅ ⋅ −   = = = −⋅ − − ⋅ +   π 1cos 2 4 α + =   1sin 4 α = − α 2 1 15cos 1 sin 1 16 4 α α= − = − = 则 ． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利 用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负． 21．已知函数 ， . （1）若 ，求函数 的单调递减区间； （2）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）先求出函数的义域为 或 ，再利用复合函数的单调性原理求 函数的单调减区间；（2）等价于 在 R 上恒成立，利用一元二次函数的 图象和性质分析得解. 【详解】 （1）若 ， , 函数的定义域为 或 ， 由于函数 是定义域上的增函数， 所以 的单调递减区间等价于函数 或 的减区间， 或 的减区间为 ， 所以函数 的单调递减区间 . （2）由题得 在 R 上恒成立， 当 时，2＞0 恒成立，所以 满足题意； 当 时， ，所以 . 综合得 【点睛】 本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平. 22．已知定义在 上的函数 满足：① 对任意 ， ，有 15( ) cos 4f α α= − = − ( ) ( )2 2log 3 2f x mx mx= − + m R∈ 1m = ( )f x ( )f x R m ∞( - , 1) 80 9m≤ < { | 2x x > 1}x < 2 3 2 0mx mx− + > 1m = ( ) ( )2 2log 3 2f x x x= − + { | 2x x > 1}x < 2logy x= ( )f x 2 3 2( 2y x x x= − + > 1)x < 2 3 2( 2y x x x= − + > 1)x < ( ),1−∞ ( )f x ( ),1−∞ 2 3 2 0mx mx− + > 0m = 0m = 0m ≠ 2 0 9 8 0 m m m > ∆ = − < 80 9m< < 80 9m≤ < R ( )f x x y∈R .②当 时， 且 . （1）求证： 是奇函数； （2）解不等式 . 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）赋值法，令 x＝y＝0 可证得 f（0）＝0；令 y＝﹣x 代入式子化简，结合函 数奇偶性的定义，可得 f（x）是奇函数； （2）设 x1＜x2，由条件构造 f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由 x＜0 时 f（x）＞0 可证得 函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集． 【详解】 （1）证明：令 ， ， ， 令 ， . 函数 是奇函数. （2）设 ，则 ， 为 上减函数. ， . 即 . 不等式 的解集为 . 【点睛】 本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及解抽象不等式，解此 类题目，注意赋值法的运用，属于中档题． ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + 0x < ( ) 0f x > ( )1 3f = − ( )f x ( ) ( )2 2 12f x f x− − ≥ − { }6x x ≤ 0x y= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f= + ∴ ( )0 0f = y x= − ∴ ( ) ( ) ( )0 0f f x f x= − + = ∴ ( ) ( )f x f x= − − ∴ ( )f x 1 2x x< 1 2 0x x− < ∴ ( ) ( ) ( )1 2 1f x f x f x− = + ( ) ( )2 1 2 0f x f x x− = − > ∴ ( )f x R  ( ) ( ) ( )2 2 2 2f x f x f x− − = − + ( ) ( )2 12f x f x− = − ≥ − ( ) ( )12 4 1 4f f− = = ∴ 2 4x − ≤ 6x ≤ ∴ ( ) ( )2 2 12f x f x− − ≥ − { }6x x ≤