2018-2019学年湖南省衡阳市高一下学期新高考选科摸底考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市高一下学期新高考选科摸底考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省衡阳市高一下学期新高考选科摸底考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，则集合 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用集合补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为全集，‎ 所以0，2属于全集且不属于集合A,‎ 所以集合，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合补集的定义，属于基础题.‎ ‎2．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将指数形式化为对数形式可得，再利用换底公式即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.‎ ‎3．已知直线与直线平行，则实数k的值为（ ）‎ A．-2 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由两直线平行的可得:，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由两直线平行的判定可得:，解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两直线平行求参数，属基础题.‎ ‎4．圆与圆的位置关系是（ ）‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 ‎【答案】B ‎【解析】由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由圆，‎ 圆，即，‎ 所以圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，两圆半径，‎ 则圆心距，‎ 即两圆外切，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系的判断，属基础题.‎ ‎5．若向量与向量不相等，则与一定（ ）‎ A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 ‎【答案】D ‎【解析】由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：向量与向量 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，‎ 即选项A、B、C错误，D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相等向量的定义，属基础题.‎ ‎6．若，且，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，且，‎ ‎，则，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．‎ ‎7．函数的图象是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出分段函数的解析式，由此确定函数图象.‎ ‎【详解】‎ 由于，根据函数解析式可知，D选项符合.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数图象的判断，属于基础题.‎ ‎8．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别讨论当圆柱的高为4时，当圆柱的高为2时，求出圆柱轴截面面积即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， ‎ 当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， ‎ 综上所述，圆柱的轴截面面积为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆柱轴截面面积的求法，属基础题.‎ ‎9．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；‎ y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；‎ y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；‎ 故选A．‎ ‎【考点】三角函数的性质.‎ ‎10．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.‎ 法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.‎ ‎11．中，，则是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由平面向量数量积运算可得，即，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：在中，，则，‎ 即，则为钝角，所以为钝角三角形，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.‎ ‎12．若函数f（x）=loga（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数为函数与的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论，，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数在区间上为单调递减函数，‎ ‎∴时，在上为单调递减函数，‎ 且在上恒成立，‎ ‎∴需在上的最小值，‎ 且对称轴，∴，‎ 当时，在上为单调递增函数，不成立，‎ 综上可得的范围是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若直线的倾斜角为，则的弧度数是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线垂直x轴，即其倾斜角弧度数为，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为直线垂直x轴，‎ 所以其倾斜角弧度数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用弧度制表示直线的倾斜角，属基础题.‎ ‎14．函数，的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由在上是减函数，再求最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为在上是减函数，‎ 所以其最小值是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性求最值问题，属基础题.‎ ‎15．若，，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量模的三角不等式可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模的取值范围的计算，涉及向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知函数是定义域为R的偶函数当时，，则______，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】可求得f（1）sin（），作函数的图象，分类讨论即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，作函数的图象如右图，‎ 设方程的两个根为，；‎ 若，，故，故；‎ 若，，故，故；‎ 故答案为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．‎ 三、解答题 ‎17．请解决下列问题：‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）计算.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】（1）分子分母同时除以即可得解； ‎ ‎（2）由对数的运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，‎ 分子分母同时除以可得，原式.‎ ‎（2）原式 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角求值中的齐次式求值问题，重点考查了对数的运算，属基础题.‎ ‎18．已知三角形的三个顶点.‎ ‎（1）求BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）求BC边上的高所在直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；‎ ‎（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，直线BC的方程为，即.‎ ‎（2），‎ 直线BC边上的高所在的直线的斜率为，‎ 又，‎ 直线BC边上的高的方程为: ，‎ 即BC边上的高所在直线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.‎ ‎19．‎ 已知向量，，．‎ ‎(1) 若，求；‎ ‎(2) 求的最大值．‎ ‎【答案】(1) ；（2）‎ ‎【解析】（1）两向量垂直，坐标关系满足，由已知可得关于的等式，解该式子即得；（2）根据定义求的模，得，整理后再由的取值范围可得最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，整理得，又，.‎ ‎（2），，故当时，取到最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模的最大值，当计算到最大值为时，由平方和公式还可以继续化简，即，这一步容易被忽略．‎ ‎20．已知三棱柱中，平面ABC，，，M为AC中点.‎ ‎（1）证明:直线平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接交于点O，再证明，得证；‎ ‎（2）先求，可得.再结合即可得解.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连接交于点O，连接OM， ‎ 为平行四边形，‎ 为的中点，‎ 又M为AC的中点，‎ ‎.‎ 又平面，平面.‎ 平面.‎ ‎（2）平面ABC，，‎ ‎ .‎ 又，‎ 由M为AC中点， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又O为的中点，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以异面直线与所成角的大小为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题.‎ ‎21．已知函数，‎ ‎（1）若，求a的值，并判断的奇偶性；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1），，是偶函数（2）或 ‎【解析】（1）先由已知求出，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可；‎ ‎（2）讨论当时，当时对数函数的单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，，即，则，，‎ 则，函数的定义域为，‎ 则，是偶函数；‎ ‎（2）当时，在上是减函数， ，，解得，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，在上是增函数，‎ ‎，，即，‎ 所以原不等式的解集为，‎ 综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ ‎22．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.‎ ‎ ‎ ‎（1）求函数的表达式及定义域；‎ ‎（2）求的最大值及此时的值 ‎【答案】（1）（2）当时，取最大值.‎ ‎【解析】（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；‎ ‎（2）令，则，，再求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，‎ 由已知可知，‎ 在中，.，，‎ 梯形ABCD的高， ‎ 则.‎ ‎（2）设，则，，‎ 则 ，， ‎ 则 ‎.‎ ‎，当时，，‎ 此时，即，‎ ‎，，，故.‎ 故的最大值为，此时.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题