山东省青岛市平度市2019-2020学年高一下学期线上阶段测试数学试题

山东省青岛市平度市2019-2020学年高一下学期线上阶段测试数学试题

‎2019—2020学年度第二学期阶段检测 高一数学试题 本试卷共3页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，请将答题卡上交.‎ 一.单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以=（5，7），故选A.‎ 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.‎ ‎2.设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=（ ）‎ A. 0 B. C. －2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为与是两个不共线向量，所以向量不是零向量，‎ 又因为向量与共线，所以存在唯一实数，使成立，‎ 所以，，‎ 所以，，故选B．‎ 考点：共线向量．‎ ‎3.已知，是夹角为60°的两个单位向量，若＝＋，＝－4＋2，则与的夹角为( ).‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以，同理，则，‎ 又，‎ 所以，又，所以.‎ 考点：，两向量夹角的余弦公式：，向量数量积的运算律.‎ ‎4.已知的角A、B、C所对的边为a、b、c，，，，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合余弦定理，得到关于的方程，即可得答案．‎ ‎【详解】由余弦定理可得，，‎ 即，整理可得，‎ 解可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础试题．‎ ‎5.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量基本定理和向量运算求解即可 ‎【详解】根据题意得：，又，，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.‎ ‎6.若， 和的夹角为30°，则在方向上的投影为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用在方向上的投影公式即可得到答案．‎ ‎【详解】因为， 和的夹角为30°‎ 所以在方向上的投影为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．‎ ‎7.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 (   )‎ A. 5海里/时 B. 海里/时 C. 10海里/时 D. 海里/时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，计算得到， ，在计算得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图依题意有,,‎ ‎∴,从而,‎ 在中,求得,‎ ‎∴这艘船的速度是 (海里/时)‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.‎ ‎8.ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos‎2A= ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB＝sinA，从而得到b＝a，可得答案．‎ ‎【详解】∵△ABC中，asinAsinB+bcos‎2A＝a，‎ ‎∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos‎2A＝ sinA，‎ 可得sinB（sin‎2A+cos‎2A）＝ sinA，∵sin‎2A+cos‎2A＝1，‎ ‎∴sinB＝ sinA，得b＝a，可得＝．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．‎ 二.多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.在下列向量组中，不能把向量表示出来的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标运算，如果选项中的两个向量是共线向量，则不能把向量表示出来.‎ ‎【详解】对A，零向量与任何向量都是共线向量，故 ，不能做为一组基底，故A不能；‎ 对B，，∴ ，不共线，故B能．‎ 对C，∵，∴ ，不能做为一组基底，故C不能．‎ 对D，，∴，不能做为一组基底，故D不能．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的坐标运算、平面向量基本定理的应用，解题的关键是判断向量是否共线，属于基础题．‎ ‎10.下列说法正确的是（ ）‎ A. 在中，‎ B. 在中，若，则 C. 在中，若，则；若，则 D. 在中，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项，即可得答案．‎ ‎【详解】对于A，由正弦定理，可得：，故A正确；‎ 对于B，由，可得，或，即，或，‎ ‎，或，故B错误；‎ 对于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，故C正确；‎ 对于D，由正弦定理，‎ 可得右边左边，故D正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎11.在中，，，，则角B的值可以是（ ）‎ A. 105º B. 15º C. 45º D. 135º ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正弦定理可求，再结合三角形的内角和定理，即可得答案．‎ ‎【详解】，，，‎ 由正弦定理可得，即，∴，‎ ‎，，则或，‎ 则角或．‎ 故选：AB．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在求解三角形中应用、三角形解的个数的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力运算求解能力．‎ ‎12.关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）‎ A. 若，则；‎ B. 已知，，若，则；‎ C. 非零向量和，满足，则与的夹角为30º；‎ D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过举反例知A不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B正确，由向量加减法的意义知，C正确，通过化简计算得D正确．‎ ‎【详解】对A，当 时，可得到不成立；‎ 对B，时，有，，故B正确．‎ 对C，当时，、、这三个向量平移后构成一个等边三角形，‎ ‎ 这个等边三角形一条角平分线，故C正确．‎ 对D，，故D正确．‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．‎ 三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.向量，，且，则____‎ ‎【答案】-10；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行，坐标对角相乘要相等，可得到关于x的方程，解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】∵，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题.‎ ‎14.点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．‎ ‎【答案】垂 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的运算律可整理出，即；同理可得，，由垂心定义可知为垂心.‎ ‎【详解】 ，即 同理可得：，‎ 点为的垂心 本题正确结果：垂 ‎【点睛】本题考查三角形垂心的判断，关键是能够通过向量数量积的运算律整理出垂直关系.‎ ‎15.设内角所对的边分别为，若，则的形状为_______‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.‎ ‎【详解】因为 由正弦定理可得 即,而 所以 因为在三角形中 所以 所以,即为直角三角形 故答案为: 直角三角形 ‎【点睛】本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.‎ ‎16.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在中，已知，，________，求角A，若该题的答案是，请将条件补充完整.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式、二倍角公式求得，再利用两角和的正弦公式求得的值，再利用正弦定理求得的值．‎ ‎【详解】在中，，，‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ 若，则，‎ ‎∴，‎ 则由正弦定理可得，解得.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦定理，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，，.‎ ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，进而得到向量与的夹角；‎ ‎（2）要求，我们可以根据（1）中结论，先求出的值，然后开方求出答案．‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴向量与的夹角.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎18.如图，在△ABC中，AB=3 ，D是BC边上一点，且∠ADB= .‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）若CD=10，求AC的长及△ACD的面积.‎ ‎【答案】(1) AD=6 (2) S=15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中由正弦定理可求得AD的长；‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面积．‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，∴‎ ‎（2）∵，∴‎ 在中 ，由余弦定理得 ‎∴‎ ‎∴.‎ 综上，的面积为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎19.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎20.已知长方形AOCD中，，，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，.‎ ‎【答案】点P在靠近点A的AO的三等分点处 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把角看成向量与的夹角，以、为基底，用基底表示与，再代入两向量的夹角公式即可解出．‎ ‎【详解】设、，则、为表示平面的一组基底，‎ 且，，，为向量与的夹角，‎ 又，可设，，‎ 而．‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得或（舍 点在的一个3等分点时，．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.‎ ‎21.已知向量，且.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）若，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1） （2） ；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得：， . ‎ ‎(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得 ；.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知： ‎ ‎ ‎ ‎22.在△ABC中，(1)求B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋cos C的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）由（1）知当时，取得最大值．‎ 试题解析： （1）由余弦定理及题设得，‎ 又∵，∴；（2）由（1）知，‎ ‎，因为，所以当时，取得最大值．‎ 考点：1、解三角形；2、函数的最值.‎