【数学】2019届一轮复习北师大版多元问题的最值问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版多元问题的最值问题学案

一．方法综述 ‎ 多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有 导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等.‎ 二．解题策略 类型一 导数法 例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数的定义域是， （为小于的常数）设且，若 的最小值大于，则的范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 类型二 消元法 例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设有，令，则，所以，当时， ， 在为增函数；当时， ， 在为减函数，所以，注意到当时， ，故选D.学 ‎ ‎【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域 讨论.‎ ‎【举一反三】‎ 类型三.基本不等式法 例3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【举一反三】【2018四川省成都市第七中学一诊】设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】学 ‎ ‎【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为 恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.‎ 类型四 换元法 例4.若a1x≤sin ＜a2x对任意的x∈都成立，则a2－a1的最小值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【举一反三】【2018四川省广元市统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为（ ） 学 ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设数列的公比为，由题意知．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 设，则，学 ‎ 故当时， 单调递减；当时， 单调递增．‎ ‎∴当，即时， 有最小值，且．‎ ‎∴的最小值为．故选C．学 ‎ 三．强化训练 ‎1．【2018四川省绵阳市南山二诊】在中， 分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. C. D. -1‎ ‎【答案】D ‎ 2．【2018河北省涞水波峰中学联考】已知函数，若成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则， ‎ 所以，令，‎ 则，又是增函数，且，‎ 所以在单调递减， 单调递增，‎ 所以，故选D。[ ]‎ ‎3．【2018四川省绵阳市一诊】已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（　　）‎ A. 2﹣2 B. 1﹣2 C. ﹣2 D. ﹣1‎ ‎【答案】D ‎ 4.若曲线与曲线存在公共切线，则a的取值范围为（ ）[ 学_ _ ]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 5.设函数f(x)＝若对任意给定的y∈(2，＋∞)，都存在唯一的x0∈R，满足f(f(x0))＝2a2y2＋ay，则正实数a的最小值是(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】当x≤0时，f(x)＝2x，值域为(0,1]，所以f(f(x))＝log22x ＝x；当0＜x≤1时，f(x)＝log2x，值域为(－∞，0]，所以f(f(x))＝2log2x＝x；当x＞1时，f(x)＝log2x，值域为(0，＋∞)，所以f(f(x))＝log2 (log2x)，故f(f(x))＝当x≤1时，f(f(x))的值域为(－∞，1]；当x＞1时，f(f(x))的值域为R，因为a＞0，令g(y)＝2a2y2＋ay＝2a22－，对称轴y＝－＜0＜2，所以g(y)在(2，＋∞)上是增函数，则g(y)在(2，＋∞)上的值域为(g(2)，＋∞)，即(8a2＋2a，＋∞)，则8a2＋2a≥1，解得a≥，所以正实数a的最小值是.故选A.‎ ‎6．【2018四川省广元市统考】已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令 则 ，令 ，可得 ， 则 ‎ 显然， 是增函数，观察可得当 时， ，故 ‎ 有唯一零点． 故当 时， 取得最小值为 ‎ 故选D．‎ ‎7．【2018河南省郑州市检测】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎①当时不成立；‎ ‎②当时成立；‎ ‎③当时，需满足当时， ，解得．‎ 综上可得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎8.已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎ 9．【2018江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校监测】已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的解析式可得 ，‎ 当时， ，不合题意，舍去，‎ 当时，由可得 ，‎ 令，‎ 则 ，令可得 ，‎ 当时， 单调递增，‎ 当时， 单调递减，[ 学 ]‎ 当时， 取得最大值 ，‎ 且 时， ， ，‎ 据此可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 即函数的最大值为，‎ 综上可得 的最大值为.‎ ‎10.已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且·＝48，则点 P的横坐标的最大值为__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率 ＞0，设OA y＝ x， ＞0，与椭圆＋＝1联立解得xA＝ .又·＝xAxP＋ 2xAxP＝48，解得xP＝＝＝ ，令9＋25 2＝t＞9，即 2＝，则xP＝＝×25＝80≤80× ＝10，当且仅当t＝16，即 2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.‎ ‎11．【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】已知函数.如果存在实数，使函数，在处取得最小值，则实数的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ 解得，故实数的最大值为.‎ ‎12．【2018江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考】已知函数，若，则, 的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎