安徽省定远县育才学校2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题

安徽省定远县育才学校2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题

‎2019-2020学年度第二学期5月月考卷 高二理科数学 一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.已知复数 对应复平面上的点 ，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D.‎ ‎2.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A. B. C. D.‎ ‎3.设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )‎ A. 都不大于2 B. 都不小于‎2 C. 至少有一个不大于2 D. 都小于2‎ ‎4.已知复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 （ ） A.-2 B.‎-1 C.0 D.2‎ ‎5.设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为 ， 则点横坐标的取值范围为 ( ‎ ‎ ) A. B. C. D.‎ ‎6.用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知 是函数 的极小值点，那么函数 的极大值为（ ） A.15 B‎.16 C.17 D.18‎ ‎8.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间 内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间 内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； ⑤当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④⑤ D.③‎ ‎9.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）‎ A. 16 B. ‎ ‎12 C‎. 32 D. 6‎ ‎10.设函数f(x)＝ x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A.1＜a≤2 B.a≥‎4 C.a≤2 D.0＜a≤3‎ ‎11.已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点个数为（　　） A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.观察如图等式，照此规律，第n个等式为    ． ‎ ‎14.若数列{an}的所有项都是正数，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则 （ ）=    ．‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=    ．‎ ‎16.若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在 处取得极大值，则正数a的取值范围是   ‎ 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)． （1）设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； （2）判断函数f(x)的单调性．‎ ‎18.已知， .‎ ‎（1）当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小（直接给出结论）；‎ ‎（2）由（1）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论.‎ ‎19.已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．‎ ‎（1）求的值和切线的方程；‎ ‎（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．‎ ‎20.已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ．‎ ‎（1）求 和 的值；‎ ‎（2）求函数 的解析式．‎ ‎21.如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1 ， S2 ， S3 ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论 ‎ ‎22.设函数f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．‎ 参考答案 ‎1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A 11.A 12.A ‎13.n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 14.2‎ ‎15.ln2 16.（0，2）‎ ‎17.（1）解：∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1. （2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增． ∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna， ∴当0lna时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． ‎ ‎18.(1)当n＝1时，f(1)>g(1)；当n＝2时，f(2)>g(2)；当n＝3时，f(3)>g(3)．‎ ‎(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋>2(－1)(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．‎ ‎②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋>2(－1)．‎ 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，‎ 下面转化为证明： .‎ 只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，‎ 需证：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)，即证：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式显然成立．‎ 所以，当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知：对n∈N*，猜想都成立，‎ 即1＋ (n∈N*)成立．‎ ‎19.（1），由题意知，方程有两个相等的根，‎ ‎∴，∴．‎ 此时方程化为，得，‎ 解得切点的纵坐标为，‎ ‎∴切线的方程为，即．‎ ‎（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），‎ 则由（1）知，‎ ‎∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．‎ ‎20.（1）∵在点处的切线方程为，故点在切线上，且切线斜率为，得且． ‎ ‎（2）∵过点，∴，∵，∴，由得，又由，得，联立方程得，故．‎ ‎21.解：类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. 证明：如图，设 点在底面的射影为 点，过 点作 ，交 于 ‎ ‎ ，连接 ， 就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则 ， ， 同理， ， 又 ， S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ ‎22.（1）解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ ， 当m≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，无单调减区间； 当m＞0时， f′(x)＝ ； 当0＜x＜ 时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞ 时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 综上，当m≤0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，无单调减区间；当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是( ，＋∞)，单调减区间是(0， )． （2）解：令F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数， 当m＝0时，F(x)＝－ x2＋x，x＞0，有唯一零点； 当m＞0时，F′(x)＝－ ， 当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝ ＞0，F(4)＝－ln 4＜0，所以F(x)有唯一零点； 当m＞1时，由F′(x)＜0得0＜x＜1或x＞m，由F′(x)＞0得1＜x＜m，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋ ‎ ‎ ＞0， F(‎2m＋2)＝－mln(‎2m＋2)＜0， 所以F(x)有唯一零点； 当0＜m＜1时，0＜x＜m或x＞1时，由F′(x)＜0得，0＜x＜m或x＞1， 由F′(x)＞0得m＜x＜1， 所以函数F(x)在(0，m)和(1，＋∞)单调递减，在(m，1)单调递增，又ln m＜0， 所以F(m)＝ (m＋1－2ln m)＞0， 而F(‎2m＋2)＝－mln(‎2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点． 综上，函数F(x)有唯一零点，即当m≥0时函数f(x)与g(x)图象总有一个交点．‎