2019-2020学年吉林省长春市田家炳实验中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年吉林省长春市田家炳实验中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省长春市田家炳实验中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，所以 ，选A.‎ ‎【考点】集合运算 ‎【名师点睛】‎ ‎1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．‎ ‎2．2．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ‎ ‎，故选A.‎ ‎【考点】诱导公式；两角差的正弦公式．‎ ‎3．下列函数中.既是偶函数,又在上为减函数的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A.根据指数函数的图象和性质可知,在定义域内是增函数,不具有奇偶性;‎ B.的定义域是,不符合题意;‎ C.根据二次函数的性质可知,在上为增函数;‎ D.==,根据对数函数的性质可知,符合题意.‎ 故选D.‎ ‎4．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可。‎ ‎【详解】‎ 设幂函数的表达式为，则，解得，‎ 所以，则.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。‎ ‎5．函数的零点所在区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．‎ ‎【详解】‎ 在上为增函数，‎ 且，，，‎ ‎，‎ 的零点所在区间为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.‎ ‎6．函数在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设中提供图像信息可知，则，将代入可得，即，故，又，故，应选答案D。‎ ‎7．函数的图象可能是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用，进行排除即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，‎ ‎，排除C，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．‎ ‎8．下列各式中,值为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二倍角公式对各式进行计算，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 对A，；‎ 对B， ；‎ 对C， ；‎ 对D， ．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的伸缩和平移变换可得，令 ‎ ，即可得对称轴方程.‎ ‎【详解】‎ 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，‎ 得到：的图象，再向右平移个单位长度，‎ 得到函数：的图象，‎ 令 ，解得： ，当时，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的轴对称性，属于基础题.‎ ‎10．已知tan(α＋β)=，tan(α＋)=, 那么tan(β－)的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：．‎ ‎【考点】三角恒等变形．‎ ‎11．若，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎．‎ 故选．‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ ‎12．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（ ）‎ A．(0, ) B． C． D．（0,1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，‎ 实数的取值范围是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点，方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系应用，意在考查数形结合和转化思想的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．计算的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎14．已知函数为奇函数，且当时，，则______．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎15． =__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据式子中角度的规律，可知，，变形有，由此可以求解．‎ ‎【详解】‎ 根据式子中角度的规律，可知，，变形有．所以 ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．‎ ‎16．方程在上有两个不等的实根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知， 的图象与直线在在 上有两个不同的交点，画出图象，数形结合即可求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知， 的图象与直线在上有两个不同的交点．‎ ‎，则函数的图象和直线在上有两个不同的交点．如图所示，‎ 故有，即．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方程的根与两函数图象交点关系的应用，以及正弦函数的图象与性质的运用，意在考查学生数形结合思想的应用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）计算 的值；‎ ‎（2）已知，求和的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）,‎ ‎【解析】（1）根据指数幂和对数的运算性质，即可求解；‎ ‎（2）弦化切，即可算出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式=．‎ ‎（2） ，‎ ‎　　　 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂和对数的运算性质的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．‎ ‎18．（1）化简：‎ ‎（2）已知，求的值 ‎【答案】（1）1； （2）0.‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式，化简表达式的分子和分母，由此求得表达式的值.（2）将所求的角通过诱导公式，转化为已知角的形式，再利用已知条件求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式== ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用三角函数诱导公式化简求值，属于基础题.在解题过程中，要观察已知角和所求角之间的联系，并用合适的诱导公式进行化简.‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．‎ ‎1求的值；‎ ‎2若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】1根据三角函数的定义求出，和，的值，利用两角和差的余弦公式进行求解 ‎2先求出的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎1由、，‎ 得，、，，‎ 则．‎ ‎2，，‎ ‎，，，，‎ 则，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．‎ ‎20．若二次函数满足,且 ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)设,求在的最小值的表达式．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题主要考查二次函数的图象与性质以及求二次函数在闭区间上的最值。(1)设，利用待定系数法求解即可；(2)的图象是开口朝上、对称轴为的抛物线，通过讨论对称轴的位置求出函数的最值。‎ 试题解析：‎ ‎(1)设,‎ 由得,‎ 故．‎ 因为,‎ 所以,‎ 整理得,‎ 所以,‎ 解得。‎ 所以。‎ ‎(2)由（1）得，‎ 故函数的图象是开口朝上、以为对称轴的抛物线,‎ ‎①当,即时,则当时,取最小值3；‎ ‎②当,即时,则当时,取最小值；‎ ‎③当,即时,则当时,取最小值。‎ 综上．‎ 点睛：求二次函数最值的方法 ‎(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；‎ ‎(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．‎ ‎21．已知函数 ‎1求函数的最小正周期；‎ ‎2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．‎ ‎（2）利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎1函数 ‎，‎ ‎，‎ 函数的最小正周期；‎ ‎2由于，‎ 将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，‎ 得到函数的图象，‎ 由于，‎ 故：，‎ 所以：，‎ 故：的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎