四川省棠湖中学2020届高三第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2020届高三第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省棠湖中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．是的共轭复数，若为虚数单位) ，则= ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．集合，集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知实数、满足不等式组，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是 ‎ A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D．2020年2月15日到3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎5．若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的图象大致为 ‎ A．B．C．D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线在轴上的截距是_______.‎ ‎14．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________‎ ‎15．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为__________．‎ ‎16．在三棱锥中，，，，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表：‎ 做不到科学用眼 能做到科学用眼 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数，试求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）若在犯错误的概率不超过的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的的值应为多少？请说明理由.‎ 附：独立性检验统计量，其中.‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎18．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．‎ ‎（1）求． ‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.‎ ‎(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；‎ ‎(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.‎ ‎20．（12分）已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.‎ ‎21．（12分）已知 ‎（1）若a=1，且f(x)≥m在(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当时，若x=0不是f(x)的极值点，求实数a的取值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数.‎ 画出的图像；‎ 若，求的最小值.‎ 四川省棠湖中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学参考答案 ‎1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．C 11．A 12．D ‎13． 14．8 15． 16．‎ ‎17．（1）“科学用眼”抽人，“不科学用眼”抽人．则随机变量，‎ ‎∴，，‎ 分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由表可知2．706＜3．030＜3．840；∴．‎ ‎18．(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，‎ 由，得，所以，解得， ‎ 所以数列的通项公式为． ‎ ‎(2)由（1）得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ ‎，即．‎ ‎19．(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.‎ 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.‎ ‎ (2)方法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH.‎ 因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，‎ 所以AE＝GE＝AC＝GC＝.‎ 取AG的中点M，连接EM，CM，EC，‎ 则EM⊥AG，CM⊥AG，‎ 所以∠EMC为所求二面角的平面角．‎ 又AM＝1，所以EM＝CM＝.‎ 在△BEC中，由于∠EBC＝120°，‎ 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，‎ 所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形，‎ 故所求的角为60°.‎ 方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.‎ 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，‎ 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．‎ 设＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，‎ 由可得取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量＝(3，－，2)．‎ 设＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈〉＝＝.‎ 故所求的角为60°.‎ ‎20．（1）由题意知，则，∴，‎ ‎∴抛物线的标准方程为；‎ ‎（2）设直线（）由，得，‎ ‎∴，∴，即，‎ 即，∴，‎ 设AB的中垂线方程为：，即，得点C的坐标为，‎ ‎∵直线，即，‎ ‎∴点C到直线AB的距离，‎ ‎∴令，则，‎ 令，∴，‎ 令，则，在上；在上，‎ 故在单调递增，单调递减，‎ ‎∴当，即时，.‎ ‎21．解:（1）由题,当时,,所以,‎ 设,所以恒成立,‎ 所以在上为增函数,所以,又,‎ 所以恒成立,所以在上为增函数,所以,所以 ‎（2）,‎ 令,则,‎ 设,‎ 则,‎ 所以在上递增,且,‎ ‎①当时,,所以当时,；当时,,‎ 即当时,；当时,,‎ 所以在上递减,在上递增,所以,‎ 所以在上递增,所以不是的极值点,所以时,满足条件；‎ ‎②当时,,又因为在上递增,‎ 所以,使得,所以当时,,即,‎ 所以在上递增,又,‎ 所以当时,；当时,,所以是的极小值点,不合题意,‎ 综上,‎ ‎22．（1）消去参数可得曲线的普通方程是，即，代入 得，即，∴曲线的极坐标方程是；‎ 由，化为直角坐标方程为．‎ ‎（2）设，则，，‎ ‎，‎ 当时，取得最大值为．‎ ‎23．（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数，‎ 所以的图象如图所示：‎ ‎（2）由，可得，解得，‎ 又因为，所以.(※)‎ 若，(※)式明显成立；‎ 若，则当时，(※)式不成立，‎ 由图可知，当，且时，可得，‎ 所以当且仅当，且时，成立，‎ 因此的最小值为.‎