北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题 理

北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题 理

北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题 理 班级 姓名 学号 成绩 ‎ 一.选择题（每题5分，共40分）‎ ‎1.设全集若集合则下列结论正确的是 ‎( )‎ ‎ ‎ ‎2.已知非零实数、满足则下列不等式中成立的是( )‎ ‎ ‎ ‎3.等比数列的前项和为，则公比等于( )‎ ‎ 或 或 ‎ ‎4.若点是角终边上异于原点的一点,则的值为( )‎ ‎ ‎ ‎5.已知点,为平面内一动点,且满足那么点的轨迹方程为( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.对函数现有下列命题:‎ ‎①函数是偶函数; ②函数的最小正周期是 ‎③点是函数的图像的一个对称中心;‎ ‎④函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ 其中是真命题的是( )‎ ‎①③ ①④ ②③ ②④‎ ‎7.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为( )‎ ‎ ‎ ‎8.若关于的代数式满足:①②‎ ‎③④‎ 则( )‎ ‎ ‎ 二.填空题（每题5分，共30分）‎ ‎9.已知且那么的值等于 ‎10.已知、的夹角为则 ‎11.函数对任意的都有成立，则 的最小值为 ‎12.已知为⊙:的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形的面积的最大值为 .‎ ‎13.已知函数的定义域为则的取值范围是 ‎14.在平面直角坐标系中,定义为两点 之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为 三.解答题(本题满分80分)‎ ‎15.(本题满分13分)‎ 在锐角中，角的对边分别为且.‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵求的取值范围.‎ ‎16.(本题满分13分)‎ 已知:以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、其中为原点.‎ ‎(1)求证:的面积为定值;‎ ‎(2)设直线与圆交于点、若求⊙的方程.‎ ‎17. (本题满分13分)‎ 已知四棱锥的底面是边长为的正方形,底面,‎ ‎、分别为棱、的中点.‎ P F E D C B A ‎(1)求证:平面 ‎(2)已知二面角的余弦值为 求四棱锥的体积.‎ ‎18. (本题满分13分)‎ 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(2)求，的值；‎ ‎(3)求数学期望 ‎19.(本题满分14分)‎ 已知函数，为函数的导函数． ‎ ‎(1)设函数的图象与轴交点为曲线在点处的切线方程是，求的值；‎ ‎(2)若函数，求函数的单调区间．‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 设等差数列的公差且记为数列的前项和.‎ ‎(1)若、、成等比数列,且、的等差中项为求数列的通项公式;‎ ‎(2)若、、且证明：‎ ‎(3)若证明:‎ ‎答案 一.选择题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.‎ 二.填空题 ‎9. 10. 11. 12. 13. 14.(第一空2分,第二空3分)‎ 三.解答题 ‎15.解:‎ ‎16.解:‎ ‎(1)由已知可设⊙的方程为:分 ‎ 分别令易知分 ‎ 故的面积为定值分.‎ ‎(2)为圆心,分 ‎ 而直线的方程为 ‎ 分 ‎ 当时, ⊙与直线相离,不合题意舍去……11分 ‎ 所以⊙的方程为分 ‎17.解:‎ ‎(2)以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系.设 可得如下点的坐标:‎ 则有分 因为底面所以平面的一个法向量为分 设平面的一个法向量为则可得即 令得所以分 由已知,二面角的余弦值为所以得 分 分 ‎18.解：‎ 事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ‎ ，，分 ‎(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ‎ ，分 答: 该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ‎(2)由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得 ，‎ 由，可得，.分 ‎19.解:‎ ‎(1)∵，∴． ‎ ‎∵在处切线方程为，∴，‎ ‎ 即，. ……5分 ‎(2)．‎ ‎. ……7分 ‎①当时，， ‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎②当时，令，得或 ‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为，； ‎ ‎（ⅱ）当，即时，，‎ 故在单调递减； ‎ ‎（ⅲ）当，即时，‎ 在上单调递增，在，上单调递 综上所述，当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 当时，的单调递减区间为； ‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．……14分 ‎ ‎ ‎20.解:‎ ‎(1)由已知得即 化简得: ‎ 而即 故分 ‎(3)‎ 而 分