高中数学北师大版新教材必修一同步课件：5-1-2　利用二分法求方程的近似解

高中数学北师大版新教材必修一同步课件：5-1-2　利用二分法求方程的近似解

1.2 　利用二分法求方程的近似解 必备知识 · 自主学习 1. 二分法 (1) 二分法 对于一般的函数 y=f(x),x∈[a,b], 若函数 y=f(x) 的图象是一条 ___________, _____________, 则每次取区间的 _____, 将区间一分为二 , 再经比较 , 按需要留下 其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法 . (2) 本质 : 利用函数零点存在定理求方程的近似解 . (3) 应用 : 对于无法利用已有公式求解的方程 , 利用二分法求它们的近似解 . 导思 1. 怎样求非特殊方程的近似解 ? 2. 求方程近似解的思想来源是什么 ? 连续的曲线 f(a)·f(b)<0 中点 【 思考 】 若函数 y=f(x) 在定义域内有零点 , 该零点是否一定能用二分法求解 ? 提示 : 二分法只适用于函数的变号零点 ( 即函数在零点两侧符号相反 ), 因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解 , 如 f(x)=(x-1) 2 的零点就不能用二分法求解 . 2. 用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度 ε, 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤如下 : (1) 确定区间 [a,b], 验证 _____________, 给定精确度 ε; (2) 求区间 (a,b) 的中点 c; f(a)·f(b)<0 (3) 计算 f(c); ① 若 f(c)=0, 则 __ 就是函数的零点 ; ② 若 f(a)·f(c)<0, 则令 b=c( 此时零点 x 0 ∈(____)). ③ 若 f(c)·f(b)<0, 则令 a=c( 此时零点 x 0 ∈(____)). (4) 判断是否达到精确度 ε: 即若 _________, 则得到零点近似值 ; 否则重复 (2) ～ (4). c a,c c,b |a-b|<ε 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”). (1) 二分法所求出的方程的解都是近似解 . ( 　　 ) (2) 函数 f(x)=|x| 可以用二分法求零点 . ( 　　 ) (3) 用二分法求函数零点的近似值时 , 每次等分区间后 , 零点必定在右侧区间 内 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 如果方程 x-2=0 用二分法求出的解就是精确解 . (2)×. 对于函数 f(x)=|x|, 不存在区间 (a,b), 使 f(a) · f(b)<0, 所以不能用二分法求其零点 . (3)×. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内 . 2. 用二分法求函数 f(x) 在 (a,b) 内的唯一零点时 , 精确度为 0.001, 则结束计算的条件是 ( 　　 ) A.|a-b|<0.1 　　 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001 【 解析 】 选 B. 根据二分法的步骤知当区间长度 |a-b| 小于精确度 ε 时 , 便可结束计算 . 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 用二分法求函数 f(x)=x 3 +5 的零点可以取的初始区间是 ( 　　 ) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 【 解析 】 选 A. 因为 f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0, 故可取 [-2,1] 作为初始区间 , 然后用二分法逐次计算即可 . 关键能力 · 合作学习 类型一　二分法的概念的理解 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x) 的图象如图所示 , 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( 　　 ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 2. 在用二分法求函数 f(x) 的一个正实数零点时 , 经计算 ,f(0.64)<0,f(0.72)>0, f(0.68)<0, 则函数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的近似值为 ( 　　 ) A.0.6 B.0.75 C.0.7 D.0.8 3. 用二分法求方程 2 x +3x-7=0 在区间 [1,3] 内的根 , 取区间的中点为 x 0 =2, 那么下一个有根的区间是 　　　　 .  【 解析 】 1. 选 D. 图象与 x 轴有 4 个交点 , 所以零点的个数为 4; 左右函数值异号的 零点有 3 个 , 所以可以用二分法求解的个数为 3. 2. 选 C. 已知 f(0.64)<0,f(0.72)>0, 则函数 f(x) 的零点的初始区间为 [0.64, 0.72]. 又 0.68= , 且 f(0.68)<0, 所以零点在区间 [0.68,0.72] 上 , 因为 |0.68-0.72|=0.04<0.1, 因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为 0.7. 3. 设 f(x)=2 x +3x-7,f(1)=2+3-7=-2<0,f(3)=10>0,f(2)=3>0,f(x) 零点所在的区间为 [1,2], 所以方程 2 x +3x-7=0 下一个有根的区间是 [1,2]. 答案 : [1,2] 【 解题策略 】 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1) 函数图象在零点附近连续不断 . (2) 在该零点左右两侧函数值异号 . 只有满足上述两个条件 , 才可用二分法求函数零点 . 【 补偿训练 】 　　下列函数图象与 x 轴均有交点 , 其中能用二分法求零点的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 根据二分法的基本方法 , 函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图象连续不断 , 且 f(a)·f(b)<0, 即函数的零点是变号零点 , 才能将区间 [a,b] 一分为二 , 逐步得到零点的近似值 . 验证 A,B,C,D 中的函数图象 , 只有 C 中函数的零点是变号零点 . 类型二　利用二分法求方程的近似解 ( 数学运算 ) 【 典例 】 试判断函数 f(x)=x 3 -3x 2 -9x+1 在 [-2,-1] 内有无零点 , 如果有 , 求出一个近似零点 ( 精确度为 0.1). 【 思路导引 】 【 解析 】 因为 f(-1)>0,f(-2)<0, 且函数 f(x)=x 3 -3x 2 -9x+1 的图象是连续的曲线 , 根据函数零点存在定理可知 , 它在区间 [-2,-1] 内有零点 , 用二分法逐步计算 , 列表如下 . 次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间长度 第 1 次 -2 -1 -1 6 1 第 2 次 -2 -1 -1.5 4.375 0.5 第 3 次 -2 -1 -1.75 2.203 0.25 第 4 次 -2 -1 -1.875 0.736 0.125 第 5 次 -1.937 5 -0.097 4 -1.875 0.736 0.062 5 由于 |-1.875+1.937 5|=0.062 5<0.1, 所以函数在区间 [-2,-1] 内的一个近似零点可取为 -1.937 5. 【 解题策略 】 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1) 构造函数 , 利用图象确定方程的解所在的大致区间 , 通常取区间 (n,n+1),n∈Z. (2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M. (3) 区间 M 内的任一实数均是方程的近似解 , 通常取区间 M 的一个端点 . 【 跟踪训练 】 　求函数 f(x)=x 2 -5 的负零点 ( 精确度为 0.1). 次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间长度 第 1 次 -3 4 -2 -1 1 第 2 次 -2.5 1.25 -2 -1 0.5 第 3 次 -2.25 0.062 5 -2 -1 0.25 第 4 次 -2.25 0.062 5 -2.125 -0.484 4 0.125 第 5 次 -2.25 0.062 5 -2.187 5 -0.214 8 0.0625 【 解析 】 由于 f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0, 故取区间 (-3,-2) 作为计算的初始区间 . 用二分法逐次计算 , 列表如下 : 由于 |-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取 -2.25. 类型三　有解区间的选取与二分次数的确定 ( 逻辑推理、直观想象 ) 　角度 1 　有解区间的选取  【 典例 】 指出方程 x 3 -x-1=0 的根所在的长度不超过 1 的大致区间 . 【 思路导引 】 可先画出方程所对应的函数图象 , 观察其交点位置 , 确定有解区间 . 【 解析 】 方程 x 3 -x-1=0, 即 x 3 =x+1. 令 F(x)=x 3 -x-1,f(x)=x 3 ,g(x)=x+1. 在同一平面直角坐标系中 , 函数 f(x) 与 g(x) 的图象如图 , 显然它们只有 1 个交点 . 两函数图象交点的横坐标就是方程的解 . 又 F(1)=-1<0, F(2)=5>0, 所以方程 x 3 -x-1=0 的根在区间 (1,2) 内 . 【 变式探究 】 　将典例中函数改为 :f(x)=3 x -7, 求其零点时 , 初始区间可选为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【 解析 】 选 C.f(-1)=3 -1 -7= -7=- <0, f(0)=3 0 -7=1-7=-6<0,f(1)=3 1 -7=-4<0,f(2)=3 2 -7=9-7=2>0, 故函数 f(x) 的零点 在区间 (1,2) 上 , 故初始区间可选为 (1,2). 　角度 2 　二分法次数的确定  【 典例 】 若函数 f(x) 在 (1,2) 内有 1 个零点 , 要使零点的近似值满足精确度为 0.01, 则对区间 (1,2) 至少二等分 ( 　　 ) A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次 【 解析 】 选 C. 设对区间 (1,2) 至少二等分 n 次 , 初始区间长为 1. 第 1 次二等分后区 间长为 ; 第 2 次二等分后区间长为 ; 第 3 次二等分后区间长为 …… 第 n 次二等分后区 间长为 . 根据题意 , 得 <0.01, 所以 n>log 2 100. 因为 6 ,nlg 2>lg ,n> , 从而估算出至少要使用多少次二 分法 . 【 题组训练 】 1. 设函数 y=x 2 与 y= 的图象的交点为 (x 0 ,y 0 ), 则 x 0 所在的区间是 ( 　　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【 解析 】 选 B. 令 f(x)=x 2 - , 因为 f(1)=1- =1-2<0,f(2)=2 2 - =4-1>0, 故 x 0 ∈(1,2). 2. 在用二分法求方程的近似解时 , 若初始区间的长度为 1, 精确度为 0.05, 则取中 点的次数不小于 　　　　 .  【 解析 】 因为初始区间的长度为 1, 精确度为 0.05, 所以 ≤ 0.05, 即 2 n ≥20. 又 因为 n∈N * , 所以 n≥5, 所以取中点的次数不小于 5. 答案 : 5 课堂检测 · 素养达标 1. 用二分法求函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的零点时 , 需要的条件是 ( 　　 ) ①f(x) 在区间 [a,b] 是连续不断的 ;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0; ④f(a)·f(b)≥0. A.①② 　　　　　 B.①③ C.①④ D.①②③ 【 解析 】 选 A. 由二分法的定义 , 知选 A. 2. 在用二分法求函数 f(x) 零点的近似值时 , 第一次所取的区间是 [-2,4], 则第三次所取的区间可能是 ( 　　 ) A.[1,4] B.[-2,1] C. D. 【 解析 】 选 D. 因为第一次所取的区间是 [-2,4], 所以第二次所取的区间可能为 [-2,1],[1,4], 所以第三次所取的区间可能为 3. 若函数 f(x)=x 3 +x 2 -2x-2 的一个零点用二分法计算 , 其参考数据如表 : f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375) ≈-0.260 f(1.437 5) ≈0.162 f(1.406 25) ≈-0.054 那么方程 x 3 +x 2 -2x-2=0 的一个近似解 ( 精确度为 0.1) 为 ( 　　 ) A.1.2 　　　 B.1.3 　　　 C.1.4 　　　 D.1.5 【 解析 】 选 C. 根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间 , 且 |1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.1, 所以 1.4 是方程的一个近似解 . 4. 已知方程 mx 2 -x-1=0 在区间 (0,1) 内恰有一解 , 则实数 m 的取值范围是 　　　　 .  【 解析 】 设函数 f(x)=mx 2 -x-1, 因为方程 mx 2 -x-1=0 在 (0,1) 内恰有一解 , 所以当 m=0 时 , 方程 -x-1=0 在 (0,1) 内无解 , 当 m≠0 时 , 由 f(0)f(1)<0, 即 -(m-1-1)<0, 解得 m>2. 答案 : (2,+∞)