2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

课时分层作业(二十三)　用二分法求方程的近似解 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　) ‎ ‎【导学号：37102363】‎ A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 B　[用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.]‎ ‎2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　)‎ A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)‎ C．(1.5,2) D．不能确定 A　[由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．]‎ ‎3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： ‎ ‎【导学号：37102364】‎ f(1)＝－2‎ f(1.5)＝0.625‎ f(1.25)＝－0.984‎ f(1.375)＝－0.260‎ f(1.437 5)＝0.162‎ f(1.406 25)＝－0.054‎ 要么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)‎ A．1.25 B．1.375‎ C．1.42 D．1.5‎ C　[由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]‎ ‎4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)‎ A．(0,1) B．(0,2)‎ C．(2,3) D．(2,4)‎ B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，‎ f(4)＝24＋12－7>0，‎ f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)f(2)<0，所以零点在区间(0,2)．]‎ ‎5．在用“二分法”求函数f(x - 4 -‎ ‎)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　) ‎ ‎【导学号：37102365】‎ A．[1,4] B．[－2,1]‎ C. D. D　[∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.‎ ‎－1.625　[由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.]‎ ‎7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1) ‎ ‎【导学号：37102366】‎ ‎0．687 5　[∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，‎ ‎∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1.‎ ‎∴方程的一个近似解为0.687 5.]‎ ‎8．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．‎ ‎4　[设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.]‎ 三、解答题 ‎9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01) ‎ ‎【导学号：37102367】‎ ‎[解]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：‎ 区间 中点的值 中点函数近似值 ‎(1,2)‎ ‎1.5‎ ‎0.375‎ ‎(1,1.5)‎ ‎1.25‎ ‎－1.046 9‎ ‎(1.25,1.5)‎ ‎1.375‎ ‎－0.400 4‎ ‎(1.375,1.5)‎ ‎1.437 5‎ ‎－0.029 5‎ ‎(1.437 5,1.5)‎ ‎1.468 75‎ ‎0.168 4‎ - 4 -‎ ‎(1.437 5,1.468 75)‎ ‎1.453 125‎ ‎0.068 4‎ ‎(1.437 5,1.453 125)‎ ‎1.445 312 5‎ ‎0.019 2‎ ‎(1.437 5,1.445 312 5)‎ ‎∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．‎ ‎10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)‎ ‎[解]　令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，‎ 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，‎ 取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，‎ 再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，‎ 所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，‎ 所以原方程的近似正解可取为2.25.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)‎ ‎【导学号：37102368】‎ A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3‎ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x C　[对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．]‎ ‎2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)‎ A．0.68 B．0.72‎ C．0.7 D．0.6‎ C　[已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]‎ ‎3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： ‎ ‎【导学号：37102369】‎ f(1.600 0)≈0.200‎ f(1.587 5)≈0.133‎ f(1.575 0)≈0.067‎ f(1.562 5)≈0.003‎ f(1.556 2)≈－0.029‎ f(1.550 0)≈－0.060‎ 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．‎ ‎1．562 5　[f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x - 4 -‎ ‎－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.]‎ ‎4．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．‎ ‎1．5,1.75,1.875,1.812 5　[第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．]‎ ‎5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根. ‎ ‎【导学号：37102370】‎ ‎[证明]　∵f(1)>0，∴‎3a＋2b＋c>0，‎ 即3(a＋b＋c)－b－‎2c>0.‎ ‎∵a＋b＋c＝0，∴－b－‎2c>0，则－b－c>c，即a>c.‎ ‎∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.‎ 在区间[0,1]内选取二等分点，‎ 则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.‎ ‎∵f(0)>0，f(1)>0，‎ ‎∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．‎ 又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．‎ - 4 -‎