福建省福州鼓楼区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

福建省福州鼓楼区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年福建省福州市鼓楼区高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合0，1，，，则 A. 0， B. 1， C. D. ‎ 2. 下列幂函数中过点，的偶函数是 A. B. C. D. ‎ 3. 下列给出的同组函数中，表示同一函数的是 和；和；  和 A. 、 B. C. 、 D. ‎ 4. 函数的定义域为 A. B. C. D. ‎ 5. 函数的值域是 A. B. C. D. ‎ 6. 函数的图象可能是 A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数的图象恒过点A，下列函数图象不经过点 A. B. C. D. ‎ 8. ‎“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若，则不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 10. 已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是         ‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知函数，若任意，且都有，则实数a的取值范围 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知函数，则______．‎ 14. 已知函数，且，则______．‎ 15. 设，若，则______．‎ 16. 给出以下四个命题： 若集合，，，则，； 若函数的定义域为，则函数的定义域为； 若函数的单调递减区间是； 命题“，”的否定是“，” 其中正确的命题有______只填序号 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 计算： ； 已知，求． ‎ 2. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间； 写出函数的解析式和值域．‎ ‎ ‎ 3. 已知全集，集合，，． 求，； 若“”为“”的充分不必要条件，求a的取值范围． ‎ 1. 已知函数，．判断函数在区间上的单调性，并给出证明； 求该函数的最大值和最小值． ‎ 2. 设函数． Ⅰ若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围； Ⅱ在的条件下，当m取最大值时，设，且，求的最小值． ‎ 3. 设函数，是定义域为R的奇函数． 确定k的值； 若，函数，，求的最小值； 若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：0，1，，， ． 故选：C． 进行交集的运算即可． 本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A、定义域是，不关于原点对称，不具有奇偶性． B通过验证过这两个点，又定义域为R，且． C不过． ， 是奇函数，不满足偶函数的条件． 故选：B． A先看定义域是，不关于原点对称，不是偶函数． B验证是否过这两个点，再看与的关系． C验证是否过这两个点，再看与的关系． D验证是否过这两个点，再看与的关系． 本题主要考查点是否在曲线，即点的坐标是否适合曲线的方程以及函数的奇偶性，要先看定义域，再看与x的函数值间的关系． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数， ，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， ，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数． 故选：B． 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：要使函数有意义，则， 得，得， 即或， 即函数的定义域为， 故选：D． 根据函数成立的条件进行求解即可． 本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数， ， ， ， 所以函数的值域为；， 故选：B． 根据不等式的性质求解：，，，得出值域． 本题考查了不等式性质在求函数值域中的应用，属于容易题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：若，则函数为增函数，此时，C，D不成立，，则A，B不成立， 若，则函数为减函数，此时A，B不成立，，则D不成立，故C有可能， 故选：C． 讨论和，结合函数的单调性和定点范围利用排除法进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和是否对应，结合排除法是解决本题的关键．比较基础． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数中，令，解得，， 所以的图象恒过点； 对于A，时，，函数图象过点A； 对于B，时，，函数图象过点A； 对于C，时，，函数图象过点A； 对于D，时，，函数图象不过点A． 故选：D． 令求得图象恒过点A的坐标，再验证选项中的函数是否过点A． 本题考查了指数函数恒过定点的问题，是基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由，得，； 反之，由，得． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 由，得，可得；反之，由，不一定得到，当时，，然后结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由知，是定义在上的增函数， 则不等式得， ， 故选：A． 先研究幂函数的定义域和单调性，再把函数单调性的定义和定义域相结合即可． 本题考查了函数的单调性的应用，是基础题，本题易错点是不考虑定义域． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 根据函数的定义域是全体实数，得到恒成立，注意对m进行讨论，当时，利用二次函数的性质求解，然后综合即可得到结论． 本题主要 考查函数恒成立，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键． 【解答】 解：若函数的定义域是一切实数， 则等价为恒成立， 若，则不等式等价为，满足条件， 若，则满足， 即，解得， 综上， 故选：D． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：若函数在R上为减函数， 则， 即，解得， 即实数a的取值范围是， 故选：D． 根据分段函数单调性的性质进行求解即可． 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，， 时，，不合题意， 时，只需， 即在恒成立， 故， 故a的范围是， 故选：A． 求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可． 本题考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 13.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：函数， ． 故答案为：3． 推导出函数，，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质的应用，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：， ， ， 则， 故答案为：1． 由已知可得，从而可求，然后代入即可求解． 本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值，解题的关键是整体思想的应用． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：当时，设，若，可得，解得； 当时，，若，可得，显然无解． 故答案为：． 利用已知条件分别讨论a的值，求出a的值即可． 本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：若集合，，当，所以：与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去， 则解得，；故正确． 若函数的定义域为，则，解得， 所以函数的定义域为；故正确． 利用函数的图象，单调递减区间是和；故错误． 命题“，”的否定是“，”，故错误． 故答案为： 直接利用集合的元素的性质，函数的定义域的求法，函数的图象，命题的否定的应用求出结果． 本题考查的知识要点：集合的元素的性质的应用，函数的定义域的求法和应用，函数的图象的应用，命题的否定的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型． 17.【答案】解：原式 ， ，， 又， ． ‎ ‎【解析】利用指数幂的运算性质即可得出． 利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出． 本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 18.【答案】解：因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图： 所以的递增区间是，． 设，则，所以，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以时，， 故的解析式为 值域为 ‎ ‎【解析】因为函数为偶函数，故图象关于y 轴对称，由此补出完整函数的图象即可，再由图象直接可写出的增区间． 可由图象利用待定系数法求出时的解析式，也可利用偶函数求解析式，值域可从图形直接观察得到． 本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质． 19.【答案】解：集合，，或， “”为“”的充分不必要条件，，，解得， 故a的取值范围是． ‎ ‎【解析】根据集合运算定义进行计算即可； 由“”为“”的充分不必要条件，得集合，求出a的取值范围即可． 本题考查了集合的运算，集合与充分必要条件的转化关系，属于基础题． 20.【答案】解：函数在上单调递增． 证明：设任意，，满足． ， ，，，． ，即 在上为增函数． ； ． ‎ ‎【解析】函数在上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论； 运用在上单调递增，计算即可得到最值． 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题． 21.【答案】解：Ⅰ函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线， 故函数在上单调递减， 当时，函数取最小值， 若不等式对任意恒成立， 则； Ⅱ由得：， 即，即 由， 故 即的最小值为． ‎ ‎【解析】分析函数在上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围； Ⅱ由得：，即，利用基本不等式，可得的最小值． 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 22.【答案】解：是定义域为R的奇函数， ，代入可得． 由得，是定义域为R的奇函数， 设，，且， 当时，， 当时，在定义域R上单调递增． 当时， ，即， 解得或舍去 ‎ 则， 当，令， ， 当时，． 由题意得，， ，在恒成立， ， 当时，， ， 令，t在上单调递减， 则， 即 故得所有的正整数的取值为2，3，4，． ‎ ‎【解析】根据定义域为R的奇函数有，代入可得； 根据知和，函数解析式，可得，在求解的最小值； 由题意得，可得，在恒成立，换元思想，即可求解的范围，求出所有的正整数； 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用． ‎