2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学（理）（应届）
2019~2020学年度高三年级12月份月考
应届理科数学试卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A．f(-4.5)
0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
21．已知以为首项的数列满足：（）.
（1）当时，且，写出、；
（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；
22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．
(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当00，y>0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分
(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x>0，所以y>2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．
.........................................12分
20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分
（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可
解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA⊂平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（2）在AD上取一点O，使，连接EO
因为，所以EO∥SA
因为SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．
在Rt△AHO中，
∴，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分
解法二：（1）同方法一
（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）
∴平面ACD的法向为.........................................6分
设平面EAC的法向量为=（x，y，z），
由，
所以，可取
所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分
21.（1），；（2）
【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，，
所以，所以；由得；...........4分
(2)因为数列（，）是公差为的等差数列，
所以，所以，.......................6分
所以，所以，
所以， .........................................8分
故，所以，
因为， .........................................10分
所以由题意只需：，故..........................................12分
22.解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝，
∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分
①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，
∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－，
令φ(x)＝－，则φ′(x)＝，
当01时，φ′(x)>0，
则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分
②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，
∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－，
由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.
综上，λ≤－或λ≥0..........................................6分
(2)证明：由(1)可知，当λ＝－时，f(x)＝－ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2，
∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2.
要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－，
令t＝，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－，.........................................10分
令h(t)＝ln t＋－1，则当00，即ln t>1－，得证．...................12分
