高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-7-2离散型随机变量与其他知识的综合问题练习理北师大版
12.7.2 离散型随机变量与其他知识的综合问题
核心考点·精准研析
考点一 与函数、方程、不等式有关的综合问题
1.已知一批产品的不合格率为p(0
0;
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
所以p=0.1.
2.因为+p=1,所以p=,
又因为E(X)=x1+x2=,
D(X)=+=,
解得或所以px1x2=或px1x2=,
所以px1x2的最小值为.
答案:
3.(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知
P(X=200)==,P(X=300)= =,
P(X=500)==,
所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:
- 13 -
X
200
300
500
P
(2)①当200≤n≤300时,若X=200,
则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,
P(Y=800-2n)=.
若X=300时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=,
若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.
所以Y的分布列为:
Y
800-2n
2n
2n
P
所以E(Y)=×(800-2n)+×2n+×2n
=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).
②当30010.828,
所以有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
(2)设3人中赞成“使用微信交流”的人数为X,
则X的取值为0,1,2,3,
由(1)中数据可得年龄不低于55岁的人数为10,其中赞成“使用微信交流”的人数为3,不赞成“使用微信交流”的人数为7,
所以P==,P==,
P==,P==,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以均值为E(X)=0×+1×+2×+3×=.
与统计中的平均数、方差等数字特征有关的综合问题
【典例】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围内,某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测,每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的药品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1) (精确到0. 000 1)及X的数学期望.
(2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况,需对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,则需停止生产并对原材料进行检测.
- 13 -
①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,
10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.
经计算得=xi=9.96,s==≈0.19.
其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20,用样本平均数作为μ的估计值μ′,用样本标准差s作为σ的估计值σ′,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查.
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).
附:若随机变量Z服从正态分布N,
则P(μ-3σ28,所以老李来年应该种植乙品种杨梅,可使总利润的期望更大.
- 13 -
