2021版高考数学一轮复习核心素养测评四函数及其表示理北师大版
核心素养测评四 函数及其表示
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图像可能是 ( )
【解析】选B.对于选项A中函数定义域不是[-2,2];对于选项B符合题意;对于选项C中当x=2时,有两个y值与之对应,所以该图像不表示函数;D中函数值域不是[0,2],所以它不符合题意.
【变式备选】
已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:
①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.对于⑤,当x=1时,x2+1A,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.
2.(2019·郑州模拟)函数f(x)=ln+的定义域为 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x>1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+∞).
【变式备选】
函数f(x)=(x-2)0+ 的定义域是 ( )
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A. B.
C.(-∞,+∞) D.∪(2,+∞)
【解析】选D.要使函数f(x)有意义,只需所以x>-且x≠2,所以函数f(x)的定义域是∪(2,+∞).
3.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.当x≥1时,函数f(x)为一次函数,所以0
0,则f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得a=.
若a≤0,则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,无解.
7.具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:
①y=x-;②y=ln ;
③y=其中满足“倒负”变换的函数是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
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【解析】选B.①②③中分别令f(x)=y,则对于①,f(x)=x-,f=-x=-f(x),满足题意;对于②,f(x)=ln ,则f=ln ≠-f(x),不满足题意;
对于③,f=
即f=则f=-f(x).
所以满足“倒负”变换的函数是①③.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(1)定义域相同,值域相同,但对应关系不同的两个函数分别为________________________.
(2)值域相同,对应关系相同,但定义域不同的两个函数分别为________________________.
【解析】(1)答案不唯一.因为y=与y=-两个函数的定义域都为{x|x≠0},值域都为{y|y≠0}.而对应关系不同,所以两函数分别为f(x)=,g(x)=-.
答案:f(x)=,g(x)=-(答案不唯一)
(2)答案不唯一.函数f(x)=1,x∈[-1,1]与g(x)=1,x∈[0,1]的值域都是{1},而定义域一个为[-1,1],另一个为[0,1],其对应关系都是:所有x对应的y值都是1.因此这两个函数可以为f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1].
答案:f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1](答案不唯一)
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9.设函数f(x)=则满足f(x+1),>,即V1最大;
②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点,由图可知A3经历的时间最长,所以T1,T2,T3中最大的是T3.
答案:①V1 ②T3
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·潼关模拟)若函数f(x)的定义域是[1,2 019],则函数g(x)=的定义域是 ( )
A.[0,2 018] B.[0,1)∪(1,2 018]
C.(1,2 019] D.[-1,1)∪(1,2 018]
【解析】选B.由题知,1≤x+1≤2 019,解得0≤x≤2 018,又x≠1,所以函数g(x)=的定义域是[0,1)∪(1,2 018].
2.(5分)(2019·贵阳模拟)若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:
①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg (x2+2).
其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为 ( )
A.①③ B.② C.①② D.③
【解析】选B.对于①,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+1,所以+x0+1=0(x0≠0,且x0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+2,解得x0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则
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lg [(x0+1)2+2]=lg (+2)+lg (12+2),化简得2-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.
【变式备选】
(2020·日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有f[f(x)-ex]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)= ( )
A.1 B.e+1 C.e+3 D.3
【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-ex=c,f(x)=ex+c.所以f(c)=ec+c=e+1.所以c=1.
所以f(x)=ex+1.所以f(ln 2)=eln2+1=3.
3.(5分)已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)=________________.
【解析】由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组得f(x)=-x+.
答案:-x+
【变式备选】
下列四个结论中,正确的结论序号是________________.
①f(x)=与g(x)=表示同一函数;②函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有1个;③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;④若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
【解析】对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图像没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图像只有一个交点,即
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y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(t)的定义域和对应关系均分别对应相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于④,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.
答案:②③
4.(10分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式.
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像.
【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得
解得a=-1,b=1,所以f(x)=
(2)f(x)的图像如图所示.
5.(10分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=0,所以c=0,所以f(x)=ax2+bx.
又因为f(x+1)=f(x)+x+1,
所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,
所以(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
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所以解得所以f(x)=x2+x.
【变式备选】
若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为________________.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3.
所以f(x)=ax2+bx+3,
所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
所以所以
所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+3.
答案:f(x)=x2-x+3
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