高中数学选修2-3教学课件：计数原理1

高中数学选修2-3教学课件：计数原理1

分类加法计数原理 与 分步乘法计数原理 问题 1.1 ：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题 1.2 ：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车 . 如果一天中火车有 3 班，汽车有 2 班 . 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 引入课题 探究：你能说说以上两个问题的特征吗 ？ 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法 . 问题 1.3 ：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到， A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 生物学 数学 变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学 . 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 分类加法计数原理 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m 3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 种不同的方法，在第 2 类办法中有 种不同的方法 …… 在第 n 类办法中有 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 种不同的方法 . 问题 2.1 ：用前 6 个大写英文字母和 1 — 9 九个阿拉伯数字，以 , , … ， , , … 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 探究：你能说说这个问题的特征吗？ 分步乘法计数原理 完成一件事 需要分二个步骤 ，在第 1 步 中有 m 种不同的方法，在第 2 步 中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 种不同的方法 . 问题 2.2 ：设某班有男生 30 名，女生 24 名 . 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，做第 3 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法 …… 做第 n 步有 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 种不同的方法 . 分类计数原理 : 完成一件事 , 有 n 类方式 , 在第 1 类方式中有 m 1 种不同的方法 , 在第 2 类方式中有 m 2 种不同的方法 , … , 在第 n 类方式中有 m n 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N=m 1 +m 2 + … +m n 种不同的方法 分步计数原理 : 完成一件事 , 需要分成 n 个步骤 , 做第一步有 m 1 种不同的方法 , 做第 2 步有 m 2 种不同的方法 , … , 做第 n 步有 m n 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N=m 1 ×m 2 × … ×m n 种不同的方法 思考：两个基本计数原理的联系与区别？ 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ① 相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点： 分类加法计数原理针对的是 “ 分类 ” 问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成； 分步乘法计数原理针对的是 “ 分步 ” 问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成 . 综合应用 问题 3.2 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 问题 3.1 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书 . ① 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第 1 、 2 、 3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 例 1 、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中， （ 1 ）密码为 4 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （ 2 ）密码为 4 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个，或是从 A 到 Z 这 26 个英文字母中的 1 个。这样的密码共有多少个？ （ 3 ）密码为 4 到 6 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个。这样的密码共有多少个？ 例 2 、（ 1 ） 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （ 2 ） 4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？ 例 3 、某中学的一幢 5 层教学楼共有 3 处楼梯，问从 1 楼到 5 楼共有多少种不同的走法？ 例 4 、有 n 个元素的集合的子集共有多少个？ 巩固练习 1. 填空： ①一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人会用第 1 种方法完成，另有 4 人会用第 2 种方法完成，从中选出 1 人来完成这件工作，不同选法的种数是 . ② 从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村去 C 村，不同的路线有 条 . 2. 现有高中一年级的学生 3 名，高中二年级的学生 5 名，高中三年级的学生 4 名 . ① 从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ ②从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 3. 从甲地到乙地有 2 种走法，从乙地到丙地有 4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有 3 种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种 . 4. 甲、乙、丙 3 个班各有三好学生 3 ， 5 ， 2 名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法 . 课堂小结 1 ．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想 . 2 ．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别 分类加法计数原理针对的是 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是 “ 分步 ” 问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事 . 3 ．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即 " 不重不漏 ". 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这 n 个步骤，这件事才算完成 . 课外作业 1 ．课本第 12 页的习题 1.1A 第 1 ， 2 ， 3 ， 4 题 2 ．思考：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染么方法总数是多少？