江苏省南通市第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

江苏省南通市第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

www.ks5u.com 数学月考试题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先解含绝对值不等式得集合，再根据数轴求集合交集.‎ 详解：因此AB=，选A.‎ 点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎2.下列各组函数是同一函数的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断函数的定义域和对应法法则,判断是否为同一函数.‎ ‎【详解】对于A：定义域是R，定义域内不包含x=0，故不是同一函数；对于B，，x的取值范围是,中x的取值范围是；对于C，，中x的范围是,中x的范围是，故不为同一函数；D. ，定义域和对应法则相同，故是同一函数.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题考查同一函数的判断与应用，是基础题．判断函数是否为同一函数主要看两个函数定义域和对应法则，值域是否相同.解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎3.已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，则A∩B＝( )‎ A. {5} B. {(4，7)} C. {7} D. {(2，5)}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先明确集合的表示元素是点元素，然后交集代表的是两条直线的交点，据此求解.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合表示元素的认识以及交集运算，难度较易.‎ ‎4.计算的结果为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同底数幂运算法则完成计算.‎ ‎【详解】因为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：，.‎ ‎5.设函数，若， 则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为函数，且，所以或解得或，故选A.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两种情况讨论，分别列出关于 的不等式组求解后再求并集.‎ ‎6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2－3x+1，则f(1)+f(0)等于（　　）‎ A. 5 B. 6 C. －5 D. －6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的函数解析式以及奇函数计算的值，注意的特殊性.‎ ‎【详解】因为是上的奇函数，所以且，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在处有定义时，一定要注意：.‎ ‎7.设奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②f(1)＝0，则不等式(x+1)f(x)>0的解集为（ ）‎ A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (0,1)‎ C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，故可分四段：去考虑.‎ ‎【详解】因为在递增且，所以当时，，所以，当时，，所以；又因为是奇函数，所以在递增且，所以当时，，所以，当时，，所以；综上解集为：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性以及单调性解不等式的问题，除了可以按部就班的分析还可以通过函数的大致图象来分析问题，也就是数形结合.‎ ‎8.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数，‎ 所以当时，递减，即，当时，递减，即，‎ 且，解得，‎ 综上可知实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：‎ 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 超过500元的部分 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　‎ A. 1500元 B. 1550元 C. 1750元 D. 1800元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．‎ ‎【详解】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，‎ 由题设可知：，‎ 因为，所以，所以，解得，‎ 故此人购物实际所付金额为（元），故选A．‎ ‎【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．‎ ‎10.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是（ ）‎ A. (－∞，] B. （0，]‎ C. [0，] D. [－2，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑是否为零，然后分别分析对应的一次函数和二次函数的单调区间，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】当m＝0时，显然y＝x＋5在[－2，＋∞)上是增函数；‎ 当，即0＜m≤时，此函数在[－2，＋∞)上是增函数；‎ 当m＜0时不成立.‎ 故m的取值范围为[0，].‎ 答案:C ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.（1）最高次项为二次且二次项含有参数时，注意对参数分类：等于零和不等于零；（2）二次函数的单调区间可通过对称轴来分析.‎ ‎11.设函数，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. [－2，＋∞) B. (－∞，－2] C. (－∞，] D. (，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图像，分析时的范围即为的范围，由此计算的范围.‎ ‎【详解】y＝f(x)的图象如图所示，‎ ‎∵f(f(a))≤2，∴f(a)≥－2，令，解得：，由函数图象可知a≤.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的函数值的范围求解参数范围以及数形结合思想的应用，难度一般.对于嵌套的函数不等式，可通过由外而内的方式求解自变量的范围.‎ ‎12.已知函数，，构造函数，那么函数（ ）‎ A. 有最大值1，最小值﹣1 B. 有最小值﹣1，无最大值 C. 有最大值1，无最小值 D. 有最大值3，最小值1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义令，可得函数的解析式，作函数的图象即可求解.‎ ‎【详解】由得，；‎ 故，故可作的图象如下，‎ 通过图象观察可得有最大值1，没有最小值，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象的应用，准确得到函数的解析式作出函数的图象是解题的关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13.已知，求值a2＋a－2=________‎ ‎【答案】47‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑和、之间的关系.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查同底数的化简计算，难度较易.记住一个特殊形式：.‎ ‎14.函数的单调递减区间是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析定义域，然后根据二次函数的对称轴确定单调递减区间.‎ ‎【详解】因为，所以，又因为对称轴为且开口向下，所以单调递减区间为：.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调递减区间，难度较易.复合函数的单调性的判断规则：同増异减.‎ ‎15.函数，的值域为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分离常数法分析值域.‎ ‎【详解】因为，，所以，所以，所以值域为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求解，难度一般.形如的函数值域的求解方法：分离常数法，即.‎ ‎16.已知函数若对任意，且恒成立，则实数a的取值范围为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 的图象如图,其在,上是一个增函数, 对任意的 ‎,且, 在上是增函数, 故 故答案为 ‎17.已知集合，，‎ 求（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合中表示元素的范围，然后直接求解补集；（2）将中的表示元素范围写出，然后根据交集定义求解交集.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，所以，则或；‎ ‎（2）因为，所以或，所以或，且，所以.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集和交集运算,难度较易.‎ ‎18.一次函数是上的增函数，,已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若在单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，有最大值，求实数的值.‎ ‎【答案】(1);(2)的取值范围为;(3)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，代入条件，由恒等式的性质可得方程，求解函数的解析式；（2）求得的解析式和对称轴方程，再由单调性可得，解不等式即可得到实数的取值范围；（3）根据抛物线的开口向上，可得最大值在端点处取得，解方程可得的值，注意检验即可得到.‎ ‎【详解】（1）∵是上的增函数，‎ ‎∴可设，∴‎ 解得：，因此 ‎（2）‎ 对称轴，根据题意可得，解得 ‎∴的取值范围为 ‎（3）①当时，即 ‎，解得，符合题意 ‎②当时，即时，‎ ‎，解得，符合题意 由①②可得，或.‎ 考点：函数的综合问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到一次函数解析式的求解、函数的单调性和最值的求法，待定系数法的应用，以及二次函数的图象与性质，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的难点，属于中档试题.‎ ‎19.已知函数是定义在上的奇函数，且 ‎（1）求函数的解析式 ‎（2）用定义证明在上的增函数 ‎（3）解关于实数的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是定义在上的奇函数，可得可求出，再由可求出，进而可得出结果；‎ ‎（2）设，作差比较与的大小即可；‎ ‎（3）先由函数是奇函数，将不等式化为，由函数的单调性，列出不等式组即可求解.‎ ‎【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数．‎ 所以：得到：‎ 由于且 所以：，解得：‎ 所以：‎ ‎（2）证明：设 则：‎ 由于：‎ 所以：‎ 即：‎ 所以：‎ 即：，‎ 所以在上的增函数．‎ ‎（3）由于函数是奇函数，‎ 所以，‎ 所以，转化成.‎ 则：‎ 解得：‎ 所以不等式的解集为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的基本性质的应用，熟记函数的单调性奇偶性等，即可求解，属于基础题型.‎ ‎20.已知函数当时,恒有.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若，试用表示；‎ ‎（3）如果时,且,试求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）最大值为1和最小值为-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过令值：，以及计算的值去证明；（2）根据（1）以及去表示；（3）先分析函数在上的单调性，然后再求值.‎ 详解】（1）令即 令 ‎（2）令 同理：‎ ‎（3）任取 令，，则 ‎，‎ 即在R上单调递减 且 在区间上的最大值为1和最小值为-3‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的应用，难度一般.利用抽象函数判断单调性，若满足，则根据判断单调性，若满足，则根据判断单调性.‎ ‎21.销售甲、乙两种商品所得利润与投入资金（万元）的关系分别为，（其中），函数、对应的曲线分别为、，如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数与的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.‎ ‎【答案】（I），；（II）该商场所获利润的最大值为万元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由题意，解得的值，即可求解函数与的解析式；（II）设销售甲商品投入资金万元，则乙投入万元，由（I）得，，令，转化为二次函数求最值，即可得到结论.‎ 试题解析：（I）由题意，解得，，‎ ‎，又由题意得，‎ ‎（II）设销售甲商品投入资金万元，则乙投入万元 由（I）得，‎ 令，则有，，‎ 当即时，取最大值1.‎ 该商场所获利润的最大值为1万元.‎ 考点：函数的解析式的求解；二次函数的性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解及二次函数的性质，其中解答中涉及到利用待定系数法求解函数的解析式、一元二次函数的图象与性质的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及换元思想和转化思想的应用，解答中利用换元法，转化为二次函数的最值问题是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.‎ ‎22.已知函数 ‎(1)求函数的值域；‎ ‎(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分离常数法求解值域；（2）参变分离法求解恒成立问题中的参数范围；（3）分析单调性，根据值域与定义域的对应关系求解的范围.‎ ‎【详解】（1），又，则，故值域为：‎ ‎；‎ ‎（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，又因为，所以，则；‎ ‎（3）在上单调递增，因为时，值域为，所以，，所以是方程两个不相等的正根，所以有两个不相等的正根，所以且，解得：，所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数的综合问题，难度较难.恒成立问题求解参数范围需要注意：若恒成立，则有；若恒成立，则有.‎ ‎ ‎