2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（ ）‎ A．重合 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】根据终边相同的角的特点，判断出终边位置，从而得到对称关系.‎ ‎【详解】‎ ‎ 与终边相同 ‎ 与终边相同 又，即终边关于轴对称 与终边关于轴对称 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角的终边的位置关系，根据终边相同的角的特点得到结果，属于基础题.‎ ‎2．已知角的终边经过点，则的正切值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数定义即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由正切定义可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎3．化简得（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两角和差公式将原式整理为，再利用诱导公式求值即可.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差正弦公式求值问题，属于基础题.‎ ‎4．在中，已知，，，则角的度数为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理求得，根据三角形中大边对大角的关系确定的度数.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形问题，易错点是忽略三角形大边对大角的特点，造成求解错误.‎ ‎5．已知直线，，和平面，下列命题中正确的是（ ）.‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】通过正方体可以找到选项的反例，从而得到正确.‎ ‎【详解】‎ 在如下图所示的正方体中：‎ ‎，面，此时面，可知错误；‎ 面，，，此时面，可知错误；‎ ‎，，此时，可知错误；‎ 根据一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，属于基础题.‎ ‎6．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据扇形面积公式代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据扇形面积公式：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎7．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.‎ ‎【详解】‎ 向右平移个单位长度得：‎ 所有点横坐标变为原来倍得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换，属于基础题.‎ ‎8．在中，已知，则此三角形的形状为（ ）.‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】根据余弦定理将代入等式，整理可得边之间的关系，从而得到三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得：‎ 整理可得：，即 则为等腰三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，关键是能够通过余弦定理将边角关系式变成边长之间的关系.‎ ‎9．若，则的值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二倍角公式可求得，利用诱导公式可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键在于能够通过诱导公式将所求三角函数变为已知角的二倍角的形式.‎ ‎10．已知函数，给出下列四个结论：‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②函数图象关于直线对称；‎ ‎③函数图象关于点对称；‎ ‎④函数在上是单调增函数．‎ 其中正确结论的个数是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据的图象与性质，依次判断各个选项，从而得到正确结果.‎ ‎【详解】‎ ‎①函数最小正周期为：，可知①正确；‎ ‎②当时，；又不是对称轴，可知②错误；‎ ‎③当时，；又不是对称中心，可知③错误；‎ ‎④当时，；当时，为单调增函数，可知④正确 综上所述，①④正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的图象与性质，主要考查了最小正周期、对称轴与对称中心、单调区间的问题，解决问题的主要方法是整体对应法.‎ ‎11．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据长度关系求解出棱台每个侧面的面积，加和可得棱台的侧面积.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形 等腰梯形的高为：‎ 等腰梯形的面积为：‎ 棱台的侧面积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体侧面积的求解问题，属于基础题.‎ ‎12．在三棱锥中，， 是边长为的等边三角形，‎ 是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据面面垂直关系得到面，通过长度关系可求得外接圆圆心到四个顶点的距离相等，可知即为外接球的球心，从而可得外接球半径，进而求得表面积.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得图形如下图所示：‎ 其中为中点，为外接圆圆心 为边长为的等边三角形 在上，且，‎ 又为以为斜边的等腰直角三角形，所以 面面，面面，面 面 ‎ ‎ 即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径 三棱锥外接球表面积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥外接球的表面积求解的问题，关键是能够通过长度关系确定外接球球心的位置.‎ 二、填空题 ‎13．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形中位线将问题转变为求解与所成角，根据边长关系可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ 为中点 ‎ 则与所成角即为与所成角 在中，，可知为等边三角形 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是通过平移找到所成角，并将所成角放入三角形中来求解，属于基础题.‎ ‎14．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，是的中点，则三棱锥的体积为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取中点，通过三角形中位线可判断出面，从而将所求三棱锥体积利用切割的方式变为，分别求解体积得到结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接 为中点 且 又面 面 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是通过切割的方式将所求体积变为高易于求解的椎体体积的求解问题.‎ ‎15．化简得_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将正切化弦，通分后利用辅助角、二倍角公式化简整理可将原式变为，根据互余的角的特点，化简得到结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角恒等变换化简求值的问题，涉及到切化弦和辅助角公式、二倍角公式的应用.‎ ‎16．在中，已知，，角的平分线交边于点，的面积为，则的长为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据余弦定理和三角形面积公式可求得，利用构造关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得： ‎ 则 又 ‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式构造出关于的方程.‎ 三、解答题 ‎17．已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据同角三角函数关系和的范围求得；（2）利用同角三角函数关系求得，再利用二倍角公式求得和，通过两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，又 ‎ ‎（2）， ‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系、二倍角公式和两角和差公式的应用，属于常规题型.‎ ‎18．如图，在正方体中，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）通过三角形中位线证得，再根据线面平行的判定定理证得结论；（2）根据线面垂直的判定定理证得面，根据线面垂直的性质得到，再根据（1）中的证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连结 分别是的中点 ‎ 又面，面 面 ‎（2）面，面 ‎ 正方形 ‎ 又，面，面 面 又面 ‎ 由（1）知 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系的证明、线线垂直关系的证明.在立体几何证明问题时，若证明结论为线线垂直，则通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直的性质得到结论的方法.‎ ‎19．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，得到，从而求得；（2）根据求得，根据正弦定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由正弦定理可知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ 由正弦定理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，其中涉及到同角三角函数的求解、三角形内角和关系、两角和差公式的应用，属于常规题型.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为棱上一点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据面面垂直性质可得面，再利用线面垂直性质得到；又，根据线面垂直的判定定理得到面，通过面面垂直判定定理得到结论；（2）根据线面平行的性质定理证得，从而将所求比例变为求解，再根据平行关系可知，根据长度关系得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）面面，面面，，面 面，又面 ‎ 又， 面 面 面面 ‎（2）连结交于，连接 面，面，面面 ‎ ‎ 又 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直关系的证明、根据线面平行求解长度关系的问题，其中涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、线面平行的性质的应用.‎ ‎21．已知函数，. ‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若≤对任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；（2）将问题转化为，通过还原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由得：‎ 单调增区间为：‎ ‎（2）由得：‎ ‎ ‎ 当时，‎ 令，则 ‎，‎ 又在单调递增 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.‎ ‎22．如图，有一个三角形的停车场，其中，两边，足够长，在上的处安装一个可旋转监控探头，米，探头监控视角始终为，（，都在上，且＞），设.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）当监控探头旋转时，请用表示监控区域的面积，并求当为多大时，监控区域的面积取最小值.‎ ‎【答案】（1）150；（2） ，面积最小 ‎【解析】（1）根据角度关系可知为等腰直角三角形，解出，从而求得面积；（2）根据正弦定理，分别用表示出，根据三角形面积公式进行整理化简，根据积化和差公式整理出，从而确定当时，取最小值，从而得到.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎ 为等腰直角三角形 ‎（2）中，由正弦定理得： ‎ 中，由正弦定理得： ‎ 又 ‎ 当，即当时，监控区域的面积取最小值 ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用，重点考查面积最值的求解.关键是能够利用正弦定理将所求面积表示为变量的函数，根据积化和差公式进行整理化简，从而确定将问题转化为正弦函数最值的求解.‎