专题40 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题40 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题40 空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义.‎ ‎2.了解可以作为推理依据的公理和定理.‎ ‎3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．唯一性定理 ‎(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】平面基本性质的应用 ‎【典型例题】‎ 在下列命题中，不是公理的是（　　）‎ A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 ‎ B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 ‎ C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ‎ D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 ‎【解答】解：在A中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，公理，故A错误；‎ 在B中，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理，故B错误；‎ 在C中，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，是定理，不是公理，故C正确；‎ 在D中，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，‎ 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线是，是公理，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【再练一题】‎ 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2．‎ ‎（1）求证：E、F、G、H四点共面；‎ ‎（2）设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．‎ ‎【解答】证明：（1）△ABD中，∵E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD．‎ ‎△CBD中，BG：GC＝DH：HC＝1：2，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），‎ ‎∴E、F、G、H四点共面．‎ ‎（2）∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，‎ ‎∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，‎ 又平面ABC∩平面ADC＝AC，‎ ‎∴P∈直线AC．‎ ‎∴P、A、C三点共线． 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 ‎(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．‎ ‎(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．‎ ‎(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．‎ ‎【题型二】判断空间两直线的位置关系 ‎【典型例题】‎ 直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为（　　）‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．异面或相交 ‎【解答】解：假设l∥b，又l∥a，根据公理3可得a∥b，这与a 与b是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l与b异面或相交．‎ 故选：D． 【再练一题】‎ A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，‎ ‎（1）求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎【解答】（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，‎ 则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，‎ 所以A、B、C、D在同一平面内，‎ 这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．‎ 故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎（2）解：取CD的中点G，连接EG、FG，由于E、F分别是BC、AD的中点，‎ 则EG平行且等于BD，FG平行且等于AC，‎ 所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 由AC⊥BD，AC＝BD，可得EG⊥GF，EG＝GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG＝45°，‎ 即异面直线EF与BD所成的角为45°． 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．‎ ‎【题型三】求异面直线所成的角 ‎【典型例题】‎ 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD，AA1，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接BC1，‎ 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB∥A1B1，‎ ‎∴异面直线A1B1与AC1所成角即为∠BAC1，‎ ‎∵AB＝1，AD，AA1，∴AC1．‎ ‎∴cos∠BAC1．‎ 即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 异面直线a，b所成的角为，直线a⊥c，则异面直线b与c所成角的范围为（　　）‎ A．[] B．[] C．[] D．[]‎ ‎【解答】解：在长方体中，对角线AC表示直线b，棱B1C1表示直线a，则a、b异面，且所成的角为，‎ 如图所示；‎ 在图中找出与a垂直的平面CDD1C1，‎ 显然当DD1为直线c时，异面直线b、c所成的角最大，为；‎ 当直线c过DD1、CC1的中点E、F时，异面直线b、c所成的角最小，为；‎ 所以异面直线b与c所成角的范围是[，]．‎ 故选：A． 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 ‎(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；‎ ‎(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；‎ ‎(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．‎ 基础知识训练 ‎1．【上海市金山中学2018-2019学年高二5月月考】设直线与平面平行，直线在平面上，那么（ ）‎ A．直线不平行于直线 B．直线与直线异面 C．直线与直线没有公共点 D．直线与直线不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，‎ 又直线m在平面α上，‎ ‎∴直线l与直线m没有公共点，‎ 故选：C．‎ ‎2．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ）‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．以上皆有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若，，，位置关系如下图所示：‎ 若，，则，可知两条直线可以平行 由图象知，与相交，可知两条直线可以相交 由图象知，与异面，可知两条直线可以异面 本题正确选项：‎ ‎3．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎① 如果，，那么；‎ ‎② 如果，，，那么；‎ ‎③ 如果，，那么；‎ ‎④如果，，，那么.‎ 其中正确的是( )‎ A．① ② B．② ③ C．② ④ D．③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①如果，，那么m，n相交、平行或异面直线，故①错误；‎ ‎②根据线面平行性质定理可知正确；‎ ‎③根据线面垂直判定定理可知正确；‎ ‎④如果，，，那么m，n相交、平行或异面直线，故④错误；‎ 故选：B ‎4．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】圆心和圆上任意两点可确定的平面有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或无数个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若圆心和圆上两点共线，则可确定无数个平面 若圆上任意三点不共线，∴由不共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个．‎ 故选：D．‎ ‎5．【天津市宝坻区2018-2019学年高一下学期期中考试】下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①平面与平面相交，它们只有有限个公共点．‎ ‎②若直线上有无数个点不在平面内，则．‎ ‎③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行 ‎④已知平面，和异面直线，，满足，，，，则．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在①中，平面与平面相交，它们有无数个公共点，故①错误；‎ 在②中，若直线上有无数个点不在平面内，则与平行或相交，故②错误；‎ 在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；‎ 在④中，已知平面，和异面直线，，满足，，，，‎ 则由面面平行的判定定理得，故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎6．【黑龙江省大庆市大庆实验中学2018-2019学年高一6月月考试】下列说法正确的是（ ）‎ A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；‎ 选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误；‎ 选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误；‎ 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误.‎ 本题正确选项：‎ ‎7．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 连接，‎ ‎ 即为异面直线与所成角 又 ‎ 即异面直线与所成角为：‎ 本题正确选项：‎ ‎8．【河北省张家口市桥西区第四中学2018-2019学年高二6月月考】设为两个平面，则 的充要条件是（ ）‎ A．内有无数条直线与β平行 B．垂直于同一平面 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到，可知错误；‎ 中，垂直于同一个平面，此时与可以相交，可知错误；‎ 中，平行于同一条直线，此时与可以相交，可知错误；‎ 中，由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件 由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行 内两条相交直线都与平行是的必要条件 即内有两条相交直线与平行是的充要条件 本题正确选项：‎ ‎9．【福建省宁德市六校2018-2019学年高一下学期期中联考】已知a、b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（ ）‎ A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎、是两条异面直线，，那么与异面和相交均有可能，但不会平行．‎ 因为若，因为，由平行公理得，与、是两条异面直线矛盾．‎ 故选C．‎ ‎10．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（ ）‎ A．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为 B．无论点在上怎么移动，都有 C．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且 D．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 对于，当点移动到的中点时，直线与平面所成角由小到大再到小，如图1所示；‎ 且为的中点时最大角的余弦值为，最大角大于，所以错误；‎ 对于，在正方形中，面，又面，所以，因此正确；‎ 对于，为的中点时，也是的中点，它们共面于平面，且必相交，‎ 设为，连和，如图2，根据△△，可得，所以正确；‎ 对于，当点从运动到时，异面直线与所成角由大到小再到大，且为的中点时最小角的正切值为，最小角大于，所以正确；‎ 故选：．‎ ‎11．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】以下说法正确的有几个（ ）‎ ‎①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有个，故选B.‎ ‎12．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】设、、为平面，为、、直线，则下列判断正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.B选项不正确，因为可能平行于.C选项不正确，因为当时，或者.D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.综上所述，本小题选D.‎ ‎13．【上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷】分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________。‎ ‎【答案】相交或异面 ‎【解析】‎ 如下图所示：此时的位置关系为：相交 如下图所示：此时的位置关系为：异面 若平行，则与的四个交点，四点共面；此时共面，不符合异面直线的定义 综上所述：的位置关系为相交或异面 本题正确结果；相交或异面 ‎14．【重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】在长方体中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 取的中点F，连接EF，则EF，‎ ‎∴即为异面直线与所成角或其补角，不妨设，‎ 则在△DEF中，DE=, ,‎ ‎∴在等腰三角形DEF中，可得cos,‎ 故答案为：.‎ ‎15．【黑龙江大庆实验中学2018-2019学年高一6月月考试】下列说法正确的是______.‎ ‎①平面的厚度是；‎ ‎②经过一条直线和一个点确定一个平面；‎ ‎③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；‎ ‎④经过三点确定一个平面.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ 对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④‎ ‎，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.‎ ‎16．【广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试】如图，正方体的棱长为1，为中点，连接，则异面直线和所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，‎ 连接，由，可得四边形为平行四边形，‎ 则，∴为异面直线和所成角，‎ 由正方体的棱长为1，为中点，‎ 得，．‎ 在中，由余弦定理可得，．‎ ‎∴异面直线和所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎17．【天津市滨海新区2019届高三毕业班质量监测】如图，四棱锥的底面是矩形，，点为的中点，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）∵是矩形，∴∴是异面直线成角 在中， ∴在中，‎ ‎∴异面直线成角余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）∵，点为的中点∴，又∵‎ ‎∴‎ 又∵，∴‎ 又∵∴‎ ‎（Ⅲ）过点作与的延长线交于点，‎ ‎∵，为斜线在面内的射影 ‎∴直线与平面所成角 在中，∴‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值 ‎18．【2019年山西省太原市高三模拟试题（二)】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】(1)见证明(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）‎ 连接，由（1）得平面，，‎ ‎∵是的中点，，‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎19．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图，在几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）连接（如图），使得，易证 平面，平面，平面 ‎（2）是菱形，，平面平面 平面平面，是矩形，‎ 平面，平面，‎ ‎，，平面，平面，‎ ‎20．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图，四棱锥的底面是菱形，底面，、分别是、的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若是边的中点，求异面直线与所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：是菱形，，‎ ‎，底面，，，平面 ‎，平面，平面 平面平面 ‎（2）过点作于，易证，，平面 ‎，平面，是在平面上的射影 即为所求，在中，，‎ ‎（3）分别取，中点，，易证，‎ 即为异面直线与所成角或其补角 在中，，，‎ ‎　‎ ‎21．【安徽省安庆一中2018-2019学年高一第二学期期末考试】在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.‎ ‎（1）求该圆锥的侧面积与体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，得，，，‎ 所以圆锥的侧面积为，‎ ‎ ；‎ ‎（2）‎ 取的中点，连接，，则或其补角即为所求，‎ 因为DE⊥EO,DE⊥OC,,‎ 所以平面，，，‎ ‎ ，‎ 于是，‎ 即异面直线与所成角的正切值为.‎ ‎22．【安徽省郎溪中学2018-2019学高一下学期期末考试】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，底面，，为的中点，为的中点，． ‎ 证明：直线平面；‎ 求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：取的中点，连接 ，‎ 在中，为，为；‎ ‎；‎ 又四边形为菱形，；‎ ‎；‎ 在中，为，为中点，‎ ‎；‎ 由于，，，，平面，‎ 平面；‎ 平面平面；‎ ‎；‎ 平面 ‎（2）连接，，由于，则异面直线与所成角即为相交线 与所成角，‎ 由为，则，‎ 由四边形为边长为2的菱形，则，由于，则;‎ 由平面，则， ，；‎ 在中，；‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 能力提升训练 ‎1．【云南省昆明第一中学2018-2019下学期期中考试高一】设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )‎ A．若，，则 B．若， 则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；‎ B选项，若， ，则或，故B错；‎ C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；‎ D选项，若，，则，故D正确；‎ 故选D ‎2．【上海市虹口区2018-2019学年高二下学期数学期中统考】直线m⊥平面α，下面判断错误的是（　　）‎ A．若直线n⊥m，则n∥α B．若直线n⊥α，则n∥m C．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由直线m⊥平面α，得：‎ 在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；‎ 在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；‎ 在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；‎ 在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．‎ 故选：A．‎ ‎3．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高一下学期期中考试】下列命题中错误的是（ ）‎ A．若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行；‎ C．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项：在如下图所示的正方体中 平面平面，平面，平面 此时，与异面，可知错误；‎ 选项：由面与面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，正确；‎ 选项：三角形各边所在直线与一个平面平行，即三角形所在平面中有两条相交直线均平行于另一个平面，可知两个平面平行，正确；‎ 选项：由面面平行的性质定理可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎4．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：‎ ‎①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；‎ ‎②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；‎ ‎③若，则，故③为真命题；‎ ‎④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．‎ 故选：B．‎ ‎5．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题可知是正方形的中心，‎ 取为的中点，所以，‎ 则是异面直线与所成的角.‎ 因为平面，‎ 所以平面，‎ 因为在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，‎ 所以，所以，因此，‎ 又在中，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 则异面直线与所成的角为.‎ 故选C ‎6．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，‎ ‎∴BD＝，∴∠BAD＝90°，‎ 取BD中点O，连结AO，CO，‎ ‎∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，‎ ‎∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，‎ 又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，‎ ‎∴AO⊥平面BCD，‎ 延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，‎ 则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，‎ ‎∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，‎ 由题意得AE＝a，ED＝a，‎ ‎∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，‎ ‎∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．‎ 故选：C．‎ ‎7．【2019年北京市清华附中高考数学二模】如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）设平面与直线交于点，求线段的长 ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）因为三棱柱中，‎ 侧棱垂直于底面，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 又因为，，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 因为，所以四边形为菱形．‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ） 由已知，平面，平面，‎ 所以．‎ 因为，，‎ 所以平面．‎ 又，故到平面的距离为2．‎ 因为为中点，所以点到平面距离为1．‎ 所以 ‎（Ⅲ）在三棱柱中，‎ 因为，为平面与平面的公共点，‎ 所以平面平面．‎ 因为平面平面，平面，‎ 所以平面．‎ 又平面平面，‎ 所以．‎ 又，所以．‎ 因为为中点，所以为中点．‎ 所以 ‎8．【上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷】如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为。‎ ‎(1)求圆锥的侧面积；‎ ‎(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；‎ ‎(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小。‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设圆锥高为，母线长为 由圆锥体积得： ‎ 圆锥的侧面积：‎ ‎（2）作交圆锥底面圆于点，连接，‎ 则即为异面直线与所成角 由题意知：，‎ ‎，又 ‎ ‎ 即异面直线与所成角为：‎ ‎（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为 ‎ ‎ 又 ，即为边长为的等边三角形 设为的中心，连接，则 三棱锥为正三棱锥 平面 即为侧棱与底面所成角 ‎ ‎ 即侧棱与底面所成角为：‎ ‎9．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】如图1，直角梯形中，，，；如图2，将图1中沿起，点在平面上的正投影在内部，点为的中点，连接，三棱锥的体积为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 证明：（1）在直角梯形中，，，‎ 在图1中作的中点，在图1、图2中取的中点， ‎ 连结，‎ 则均为等腰直角三角形，‎ 所以，，‎ 又，故面，‎ 又面，∴．‎ 解：（2）∵面，面，面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴在的中垂线上，‎ ‎∴垂直平分，‎ ‎∵为中点，∴三点共线，‎ 由，得是等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 设到平面的距离为，‎ 则由，得，‎ ‎∴点到平面的距离．‎ ‎10．【福建省宁德市六校2018-2019学年高一下学期期中联考】如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆柱的体积，‎ ‎①求三棱锥A1﹣APB的体积．‎ ‎②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，‎ 平面 又，‎ 平面，又平面，故．‎ ‎（2）①由题意，解得，‎ 由，得，，‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ ‎②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．‎ 证明：∵O、M分别为的中点，则，‎ 就是异面直线OM与所成的角，‎ 又，‎ 在中，．‎ ‎∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．‎ ‎ ‎