2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 37空间点、直线、平面之间的位置关系

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 37空间点、直线、平面之间的位置关系

考点规范练37　空间点、直线、平面之间的位置关系 基础巩固组 ‎1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 ‎2.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.l1⊥l4‎ B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 ‎3.(2017浙江宁波余姚统检)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是(　　)‎ A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c ‎4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎7‎ ‎6.‎ 如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,过EF任作一个平面α分别与直线BC,AD相交于点G,H,则下列结论正确的是　　　　　. ‎ ‎①对于任意的平面α,都有直线GF,EH,BD相交于同一点;‎ ‎②存在一个平面α0,使得GF∥EH∥BD;‎ ‎③存在一个平面α0,使得点G在线段BC上,点H在线段AD的延长线上;‎ ‎④对于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH.‎ 能力提升组 ‎7.(2017浙江绍兴一中)给出下列四个命题:‎ ‎①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④‎ ‎8.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q为棱CC1上一动点,过直线AQ的平面分别与棱BB1,DD1交于点P,R,则下列结论错误的是(　　)‎ A.对于任意的点Q,都有AP∥QR B.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形 C.存在点Q,使得△ARP为等腰直角三角形 D.存在点Q,使得直线BC∥平面APQR ‎9.‎ ‎(2017浙江温州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=‎2‎.现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C处于π‎6‎‎,‎‎5π‎6‎过程中,直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是(　　)‎ A.‎-‎5‎‎2‎‎8‎,‎‎2‎‎8‎ B.‎‎2‎‎8‎‎,‎‎5‎‎2‎‎8‎ C.‎0,‎‎2‎‎8‎ D.‎‎0,‎‎5‎‎2‎‎8‎ ‎10.(2017浙江金华调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则直线BN与MB1是　　　　　直线(填“相交”或“平行”或“异面”);直线MN与AC所成的角的大小为　　　　　. ‎ ‎11.(2017浙江绍兴交流卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,点E在侧棱AA1上,满足∠C1EB=90°,则异面直线BE与C1B1所成的角为　　　　　,侧棱AA1的长的最小值为　　　　　. ‎ 答案：‎ ‎1.A　如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.‎ ‎2.D　如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.‎ ‎3.C　若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.‎ ‎4.A　若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.‎ 又因为a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.‎ 反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.‎ 显然a,b可能相交,也可能异面或平行.‎ 综上,“直线a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.‎ ‎5.‎ B　连接DF,则AE∥DF,‎ ‎∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.‎ 设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=‎5‎‎2‎a,D1F=‎5‎‎2‎a,‎ ‎∴cos∠D1FD=‎ ‎5‎‎2‎a‎2‎‎+‎5‎‎2‎a‎2‎-‎a‎2‎‎2·‎5‎‎2‎a·‎5‎‎2‎a‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎6.②④　逐一判断.当点G,H分别是BC和AD的中点时,直线GF,EH,BD两两相互平行,所以①错误,②正确;‎ 点G在BC上时,GF与BD的延长线的交点I一定在BD延长线上,连接EI,与AD的交点H一定在线段AD上,所以③错误;‎ 过点D作DP∥AB交EI于点P,‎ 因为IDIB‎=DPBE=‎DPAE(相似),‎ 所以线段GCBC‎=DHAD,S‎△GCFS‎△BCD=‎S‎△DFHS‎△ACD,‎ 所以四面体EFGC与ECFH的体积相等.‎ 所以△EFG与△EFH的面积相等,④正确.‎ 故正确结论的序号是②④.‎ ‎7.D　分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故①错误;根据面面垂直的判定定理,当一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面一定相互垂直,故②正确;垂直于同一直线的两条直线可能平行,也可能相交,也可能异面,故③错误;由面面垂直的性质定理,当两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故④正确.故选D.‎ ‎8.C　∵AB∥CD,AA1∥DD1,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1,‎ ‎∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,‎ ‎∴AP∥QR,故A正确.‎ ‎∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行,‎ ‎∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,‎ ‎∴PQ与AR不平行,故四边形APQR不可能为平行四边形,故B正确.‎ 延长CD至M,使得DM=CM,则四边形ABCM是矩形,∴BC∥AM.‎ 当R,Q,M三点共线时,AM⊂平面APQR,∴BC∥平面APQR,故D正确.‎ 故选C.‎ ‎9.D　如图所示,取BD中点E,连接AE,CE,∴∠AEC即为二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC=4-2‎3‎cos∠AEC,∠AEC‎∈‎π‎6‎‎,‎‎5π‎6‎,∴AC∈[1,‎7‎],‎∴AB·‎CD=2‎2‎cos=AB‎·‎(BD‎-‎BC)=-2+AB·BC‎·‎AB‎2‎+BC‎2‎-AC‎2‎‎2AB·BC=1-AC‎2‎‎2‎‎∈‎‎-‎5‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎,设异面直线AB,CD所成的角为θ,∴0≤cos θ≤‎1‎‎2‎‎2‎×‎5‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎‎8‎,故选D.‎ ‎10.异面　60°　(1)M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,点N∉平面MBB1,B∉MB1,因此直线BN与MB1是异面直线;(2)连接D1C,因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.‎ ‎11.90°　2　连接BC1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥平面ABB1A1,∴∠CBE=90°.又C1B1∥BC,∴异面直线BE与C1B1所成的角为90°.设AA1=x,AE=m(m≥0),所以BE2=1+m2,EC‎1‎‎2‎=(x-m)2+2,BC‎1‎‎2‎=1+x2,因为∠C1EB=90°,所以BC‎1‎‎2‎=EC‎1‎‎2‎+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+‎1‎m‎≥‎2当且仅当m=‎1‎m,即m=1时等号成立.‎