高中数学必修1人教A同步练习试题及解析第1章1_3_1第2课时同步训练及详解

高中数学必修1人教A同步练习试题及解析第1章1_3_1第2课时同步训练及详解

高中数学必修一同步训练及解析 1．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)( ) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 解析：选 C. 画出函数 f(x)＝2x－1(x<0)的图象，如右图中实线部分所示． 由图象可知，函数 f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．故选 C. 2．函数 y＝ 1 x－1 在[2,3]上的最小值为( ) A．2 B.1 2 C.1 3 D．－1 2 解析：选 B.函数 y＝ 1 x－1 在[2,3]上为减函数， ∴ymin＝ 1 3－1 ＝1 2. 3．函数 f(x)＝1 x 在[1，b](b>1)上的最小值是1 4 ，则 b＝________. 解析：∵f(x)在[1，b]上是减函数， ∴f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1 b ＝1 4 ， ∴b＝4. 答案：4 4．函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：∵x∈N*，∴x2≥1， ∴y＝2x2＋2≥4， 即 y＝2x2＋2 在 x∈N*上的最小值为 4，此时 x＝1. 答案：4 [A 级 基础达标] 1．函数 f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则 f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．3 D．－2 解析：选 C.∵f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又 f(1)＝0，f(4)＝3. ∴f(x)的最大值是 3. 2．函数 f(x)＝ 2x＋6，x∈[1，2] x＋7，x∈[－1，1] ，则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) A．10、6 B．10、8 C．8、6 D．以上都不对 解析：选 A.f(x)在 x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6. 3．函数 f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A．9 B．9(1－a) C．9－a D．9－a2 解析：选 A.x∈[0,3]时 f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9. 4．函数 f(x)＝x－2，x∈{0,1,2,4}的最大值为________． 解析：函数 f(x)自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为 f(4)＝2. 答案：2 5．函数 f(x)＝x2＋bx＋1 的最小值是 0，则实数 b＝________. 解析：f(x)是二次函数，二次项系数 1>0， 则最小值为 f(－b 2)＝b2 4 －b2 2 ＋1＝0， 解得 b＝±2. 答案：±2 6．已知函数 f(x)＝ x2 －1 2 ≤x≤1 1 x 1＜x≤2 ，求 f(x)的最大、最小值． 解析：当－1 2 ≤x≤1 时，由 f(x)＝x2，得 f(x)的最大值为 f(1)＝1，最小值为 f(0)＝0； 当 1＜x≤2 时，由 f(x)＝1 x ，得 f(2)≤f(x)＜f(1)， 即1 2 ≤f(x)＜1. 综上 f(x)max＝1，f(x)min＝0. [B 级 能力提升] 7．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)的最小值为－2，则 f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选 C.因为 f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由 x∈[0,1]可知当 x＝0 时，f(x)取得最小值，及－4 ＋4＋a＝－2，所以 a＝－2，所以 f(x)＝－(x－2)2＋2，当 x＝1 时，f(x)取得最大值为－1＋2 ＝1.故选 C. 8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1＝－x2＋21x 和 L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为( ) A．90 万元 B．60 万元 C．120 万元 D．120.25 万元 解析：选 C.设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售 15－x 辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x) ＝－x2＋19x＋30 ＝－(x－19 2 )2＋30＋192 4 ， ∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元． 9．函数 y＝ax＋1 在区间[1,3]上的最大值为 4，则 a＝______. 解析：若 a<0，则函数 y＝ax＋1 在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大 值，即 a＋1＝4，解得 a＝3，不满足 a<0，舍去；若 a>0，则函数 y＝ax＋1 在区间[1,3]上是 增函数，当 x＝3 时，y＝4，∴3a＋1＝4，∴a＝1. 综上：a＝1. 答案：1 10．已知函数 f(x)＝1 a －1 x(a>0)． (1)证明 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若 f(x)的定义域、值域都是[1 2 ，2]，求实数 a 的值． 解：(1)证明：设 x2>x1>0， 则 f(x2)－f(x1)＝(1 a －1 x2 )－(1 a －1 x1 ) ＝1 x1 －1 x2 ＝x2－x1 x1x2 . ∵x2>x1>0，∴x2－x1>0， ∴x2－x1 x1x2 >0，即 f(x2)>f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[1 2 ，2]， ∴ f1 2 ＝1 a －2＝1 2 ， f2＝1 a －1 2 ＝2， ∴a＝2 5. 11. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料 总长为 30 m，问每间笼舍的宽度 x 为多少 m 时，才能使得每间笼舍面积 y 达到最大？每间 最大面积为多少？ 解：设总长为 b， 由题意知 b＝30－3x， 可得 y＝1 2xb， 即 y＝1 2x(30－3x) ＝－3 2(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)． 当 x＝5 时，y 取得最大值 37.5， 即每间笼舍的宽度为 5 m 时，每间笼舍面积 y 达到最大，最大面积为 37.5 m2.