高考数学专题复习：课时达标检测（四十八） 曲线与方程

高考数学专题复习：课时达标检测（四十八） 曲线与方程

课时达标检测（四十八） 曲线与方程 [练基础小题——强化运算能力] 1．已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则 P 点的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：选 A 设 P 点的坐标为(x，y)， 则 x－12＋y＋22＝3 x2＋y2， 整理得 8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0. 2．方程(x2＋y2－2x) x＋y－3＝0 表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 解析：选 D 依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0 或② x＋y－3≥0， x2＋y2－2x＝0. 注意到 圆 x2＋y2－2x＝0 上的点均位于直线 x＋y－3＝0 的左下方区域，即圆 x2＋y2－2x＝0 上的点 均不满足 x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线 x＋y－3＝0. 3．设圆(x＋1)2＋y2＝25 的圆心为 C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为( ) A.4x2 21 －4y2 25 ＝1 B.4x2 21 ＋4y2 25 ＝1 C.4x2 25 －4y2 21 ＝1 D.4x2 25 ＋4y2 21 ＝1 解析：选 D 如图，∵M 为 AQ 的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故 M 的轨迹是以定点 C，A 为焦点 的椭圆．∴a＝5 2 ，c＝1，则 b2＝a2－c2＝21 4 ，∴M 的轨迹方程为4x2 25 ＋4y2 21 ＝ 1. 4．平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(－1，3)，若点 C 满足  OC ＝λ1  OA ＋λ2  OB (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点 C 的轨迹是( ) A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 解析：选 A 设 C(x，y)，因为  OC ＝λ1  OA ＋λ2  OB ， 所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)， 即 x＝3λ1－λ2， y＝λ1＋3λ2， 解得 λ1＝y＋3x 10 ， λ2＝3y－x 10 ， 又λ1＋λ2＝1，所以y＋3x 10 ＋3y－x 10 ＝1，即 x＋2y＝5，所以点 C 的轨迹是直线，故选 A. 5．已知 F 是抛物线 y＝1 4x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方 程是________． 解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0,1)，设线段 PF 的中点坐标是(x，y)，则 P(2x,2y －1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得 x2＝2y－1. 答案：x2＝2y－1 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选 B 设椭圆的右焦点是 F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1| ＋|PO|＝1 2(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点 P 的轨迹是以 F1 和 O 为焦点的椭圆． 2．已知 A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若  MN 2＝λ  AN ·  NB ， 当λ＜0 时，动点 M 的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选 C 设 M(x，y)，则 N(x,0)，所以  MN 2＝y2，λ  AN ·  NB ＝λ(x＋1,0)·(1－x,0) ＝λ(1－x2)，所以 y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为 x2＋y2 λ ＝1.又因为λ＜0，所以动点 M 的轨迹为双曲线． 3．已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点 D，E 分别在线 段 OC，AB 上运动，且 OD＝BE，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方程是( ) A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) B．x＝y(1－y)(0≤y≤1) C．y＝x2(0≤x≤1) D．y＝1－x2(0≤x≤1) 解析：选 A 设 D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段 AD 的方程为 x＋y λ ＝1(0≤x≤1)， 线段 OE 的方程为 y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组 x＋y λ ＝1，0≤x≤1， y＝1－λx，0≤x≤1 (λ为参数)， 消去参数λ得点 G 的轨迹方程为 y＝x(1－x)(0≤x≤1)． 4．(2017·洛阳模拟)设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点．若  BP ＝2  PA，且  OQ ·  AB ＝1，则 点 P 的轨迹方程是( ) A.3 2x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.3 2x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－3 2y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋3 2y2＝1(x＞0，y＞0) 解析：选 A 设 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由  BP ＝2  PA，得(x，y－b)＝2(a－x， －y)，即 a＝3 2x＞0，b＝3y＞0.点 Q(－x，y)，故由  OQ ·  AB ＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1， 即 ax＋by＝1.将 a＝3 2x，b＝3y 代入 ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为 3 2x2＋3y2＝1(x＞0，y ＞0)． 5．已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左，右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则 △PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( ) A.x2 36 ＋y2 27 ＝1(y≠0) B.4x2 9 ＋y2＝1(y≠0) C.9x2 4 ＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋4y2 3 ＝1(y≠0) 解析：选 C 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐 标关系可得 x＝x0－1＋1 3 ， y＝y0 3. 即 x0＝3x， y0＝3y. 代入x20 4 ＋y20 3 ＝1 得重心 G 的轨迹方程为9x2 4 ＋ 3y2＝1(y≠0)． 6.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)， 映射 f 将 xOy 平面上的点 P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v 上 的点 P′(2xy，x2－y2)，则当点 P 沿着折线 ABC 运动时，在映射 f 的作 用下，动点 P′的轨迹是( ) 解析：选 D 当 P 沿 AB 运动时，x＝1，设 P′(x′，y′)，则 x′＝2y， y′＝1－y2 (0≤y≤1)， 故 y′ ＝ 1 － x′2 4 (0≤x′≤2,0≤y′≤1) ． 当 P 沿 BC 运 动 时 ， y ＝ 1 ， 则 x′＝2x， y′＝x2－1 (0≤x≤1)，所以 y′＝x′2 4 －1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知 P′的 轨迹如 D 所示，故选 D. 二、填空题 7．已知 M(－2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ________________． 解析：设 P(x，y)，∵△MPN 为直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∴(x＋2)2＋y2＋(x －2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P 不共线，∴x≠±2，∴顶点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4(x≠±2)． 答案：x2＋y2＝4(x≠±2) 8．已知定点 A(4,0)和圆 x2＋y2＝4 上的动点 B，动点 P(x，y)满足  OA ＋  OB ＝2  OP ， 则点 P 的轨迹方程为____________． 解析：设 B(x0，y0)，由  OA ＋  OB ＝2  OP ，得 4＋x0＝2x， y0＝2y， 即 x0＝2x－4， y0＝2y， 代入 圆方程得(2x－4)2＋4y2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 答案：(x－2)2＋y2＝1 9．设 F1，F2 为椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是________________． 解析：由题意，延长 F1D，F2A 并交于点 B，易证 Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|， |F1A|＝|AB|，又 O 为 F1F2 的中点，连接 OD，则 OD∥F2B，从而可 知|DO|＝1 2|F2B|＝1 2(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点 D 的坐标为(x，y)，则 x2 ＋y2＝4. 答案：x2＋y2＝4 10．△ABC 的顶点 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是______________． 解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，故方程为x2 9 － y2 16 ＝1(x＞3)． 答案：x2 9 －y2 16 ＝1(x＞3) 三、解答题 11．已知长为 1＋ 2的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P 是 AB 上 一点，且  AP ＝ 2 2  PB ，求点 P 的轨迹 C 的方程． 解：设 A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则  AP ＝(x－x0，y)， PB ＝(－x，y0－y)，因为  AP ＝ 2 2  PB ， 所以 x－x0＝－ 2 2 x，y＝ 2 2 (y0－y)， 得 x0＝ 1＋ 2 2 x，y0＝(1＋ 2)y. 因为|AB|＝1＋ 2，即 x20＋y20＝(1＋ 2)2， 所以 1＋ 2 2 x 2＋[(1＋ 2)y]2＝(1＋ 2)2，化简得x2 2 ＋y2＝1. 所以点 P 的轨迹方程为x2 2 ＋y2＝1. 12．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的 轨迹方程． 解：(1)依题意得，c＝ 5，e＝c a ＝ 5 3 ， 因此 a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故椭圆 C 的标准方程是x2 9 ＋y2 4 ＝1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y0)的切线方程是 y＝k(x－x0)＋y0， 则由 y＝kx－x0＋y0， x2 9 ＋y2 4 ＝1 得x2 9 ＋[kx－x0＋y0]2 4 ＝1， 即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0 －kx0)2－4]＝0，整理得(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1，k2，于是有 k1k2＝－1，即y20－4 x20－9 ＝－1， 即 x20＋y20＝13(x0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得 x0＝3， y0＝2 或 x0＝－3， y0＝2 或 x0＝3， y0＝－2 或 x0＝－3， y0＝－2， 经检验知均满足 x20＋y20＝13. 因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2＋y2＝13.