2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期3月月考试题 数学（理） Word版
成都外国语学校2018-2019学年度高二下期第一次月考
数学（理科）试卷
(时间:120分钟 总分:150分 命题人：刘萧旭 审题人：罗德益)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列导数式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设， 满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（ ）
A． B． C． D．
4．已知， 则等于（ ）
A． B． C． D．
5．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y=1.16x-30.75，以下结论中不正确的为（ ）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米 D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
6．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设AB=a,AD=b,AA1=c，则B1M= ( )
A．-12a-12b-c B．12a+12b-c
C．12a-12b-c D．-12a+12b-c
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若S20172017-S1717=100，则d的值为（ ）
A．120 B．110 C．10 D．20
8. 若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9．已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x)，当x>0时， xf'(x)-f(x)<0，若a=f(e)e,b=f(ln2)ln2,c=f(-3)-3，则a,b,c的大小关系正确的是（ ）
A．a
0a|x+12|-154,x≤0，函数g(x)=x3，若方程g(x)=xf(x)有4个不同实根，则实数a的取值范围为( )
A．(5,+∞) B．(5,152] C．(-3,5) D．(3,5)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卷相应位置上.
13．已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,2,1)，若a⊥(a-λb)，则实数λ的值为 .
14. 已知tanθ=2，则sinθ+cosθsinθ+sin2θ的值为 .
15. 如图所示，正方形的四个顶点A(-1,-1)，B(1,-1)，C(1,1)，D(-1,1)，及抛物线y=-(x+1)2和y=(x-1)2，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 .
16．如图：已知双曲线x2a2-y2b2(a>0,b>0)中，A1,A2为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi(i=1,2),使得ΔPiA1A2(i=1,2)构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是 .
三、解答题：本大题6题，共70分．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)设命题p：函数f(x)=13x3+3(3-a)2x2+9x无极值．命题q:(x-k)(x-k+1)<0，
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数k的取值范围。
18．(本题满分12分)《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；
(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数；
(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．
19. (本题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0,2]上的最值；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
20. (本题满分12分)如图，在四面体ABCD中，E,F分别是线段AD,BD的中点，∠ABD=∠BCD=90o，EC=2，AB=BD=2，直线EC与平面ABC所成的角等于30o．
（Ⅰ）证明：平面EFC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-CE-B的余弦值．
21. (本题满分12分)已知圆O1：(x+2)2+y2=24，点O2(2,0)，C为圆O1上任意一点，点P在直线O1C上，且满足O2C=2O2M，PM⋅CO2=0，点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m(不与坐标轴重合)与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，对任意的斜率k，若存在实数λ，使得λ(k1+k2)+k=0，求实数λ的取值范围．
22. (本题满分12分)已知函数f(x)=lnx+2x-ax2，a∈R.
（1）若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
（2）设g(x)=f(x)+(a-4)x，试讨论函数g(x)的单调性；
（3）当a=-2时，若存在正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+3x1x2=x1+x2，求证：x1+x2>12.
高二下期第一次月考数学（理科）答案
CDBAD DBCDC BB 13.2 14. 2310 15. 13 16.(2,1+52)
11.设nx=k为定值，则nx张卡片所表示的不同整数的个数y=xkx，(x,k∈N*)，
假设x，k∈R+，则lny=kxlnx，即y=ekxlnx，求导可得：y'=ekx⋅kx2(1-lnx)，
因为ekx⋅kx2>0，所以当00，当x>e，y'<0，可得x=e时，函数y取得最大值，
比较2k2，3k3的大小即可，分别6次方可得：23k=8k，32k=9k，可得8k<9k，∴2k2<3k3．
∴根据上述研究方法，3进制的效率最高。
12. 方程g(x)=xf(x)，化为x3=xf(x)，即x=0或x2=f(x)，
要使方程g(x)=xf(x)有4个不同实根，则需方程x2=f(x)有3个不同根，如图：
而当x>0时，方程g(x)=f(x)有1个根，
则只需：x<0时，y=a|x+12|-154与g(x)=x2有两个交点即可．
当x≤-12时，y=-ax+12-154，过点(-12,-154)作g(x)=x2(x<0)的切线，设切点为(m,m2)（m<0），
切线方程为y-m2=2m(x-m)，把点(-12,-154)代入上式得m=-52或m=32，
因为m<0，所以m=-52，∴切线斜率为2m=-5，所以-a<-5，即a>5，
当-122,e>2，
以A1A2为直径的圆圆心坐标为0,0，半径为a，BF的方程为xc+yb=1，即bx-cy-bc=0，
据此有：bcb2+c21,e2>2可得：双曲线离心率e的取值范围是(2,1+52).
17. 解：（1）p真时，则f'(x)=x2+3(3-a)x+9≥0恒成立 ∴ Δ=9( 3-a )2-36≤0得1≤a≤5
（2）q真：k-10，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，故a≥.
20. （Ⅰ）在RtΔBCD中，F是斜边BD的中点，所以FC=12BD=1.
因为E,F是AD,BD的中点，所以EF=12AB=1，且EC=2，
所以EF2+FC2=EC2，所以EF⊥FC. 又因为AB⊥BD,EF//AB，所以EF⊥BD，
又BD∩FC=F，所以EF⊥平面BCD，因为EF⊂平面EFC，所以平面EFC⊥平面BCD．
（Ⅱ）方法一：取AC中点M，连ME，则ME//CD，
因为CE=12AD=2，所以CD⊥AC.又因为CD⊥BC，AC∩BC=C，
所以CD⊥平面ABC，所以ME⊥平面ABC．因此∠ECM是直线EC与平面ABC所成的角．
故AC=2MC=2EC⋅cos30∘=6，所以CD=BC=2.
过点B作BN⊥AC于N，则BN⊥平面ACD，且BN=AB⋅BCAC=233．
过点B作BH⊥EC于H，连接HN，则∠BHN为二面角A-CE-B的平面角．
因为BE=BC=EC=2，所以BH=32BE=62,HN=BH2-BN2=66，
所以cos∠BHN=HNBH=13，因此二面角A-CE-B的余弦值为13．
方法二：如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz．因为CD=BC=2 (同方法一,过程略) 则C(1,1,0)，A(0,0,2),E(0,1,1)．
所以CE=(-1,0,1),BE=(0,1,1),AE=(0,1,-1)，
设平面ACE的法向量m=(x1,y1,z1)，则AE·m=0CE·m=0，即y1-z1=0-x1+z1=0，取x1=1,得m=(1,1,1)．
设平面BCE的法向量n=(x2,y2,z2)则BE·n=0CE·n=0，即y2+z2=0-x2+z2=0，取x2=1,得n=(1,-1,1)．
所以cos=m·n|m||n|=13×3=13，由图得二面角A-CE-B为锐角，则二面角A-CE-B的余弦值为13．
21. (1)由|CP|=|PQ2|，可得|PQ2|+|PO|=26>4，则点P的轨迹是以O1O2为焦点的椭圆，
则a=6，c=2，∴b=a2-c2=2，则曲线E的方程为x26+y22=1，
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x26+y22=1y=kx+m，消y可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0，
∴△=36k2m2+4(1+3k2)(3m2-6)=12(2-m2+6k2)>0 ∴x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-63k2+1，
∵λ(k1+k2)+k=λ(y1x1+y2x2)+k=λ(kx1+mx1+kx2+mx2)+k=λ[2k+m(x1+x2)x1x2]+k=0
当k=0时，λ∈R，
当k≠0时，λ=3m2-612=m2-24，由于△=12(2-m2+6k2)>0对任意k恒成立，
则m2<2+6k2，∴0≤m2<2，∴-12≤λ<0， 综上所述λ∈[-12,0)．
22. （1）因为f(x)=lnx+2x-ax2，所以f'(x)=1x+2-2ax，
因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=1+2-2a=0，解得a=32．
验证：当a=32时，f(x)在x=1处取得极大值．
（2）解：因为g(x)=f(x)+(a-4)x =lnx-ax2+(a-2)x
所以g'(x)=1x-2ax+(a-2)=-(ax+1)(2x-1)x(x>0)．
①若a≥0，则当x∈(0,12)时，g'(x)>0，所以函数g(x)在(0,12)上单调递增；
当x∈(12,+∞)时，g'(x)<0，∴函数g(x)在(12,+∞)上单调递减．
②若a<0，g'(x)=-a(x+1a)(2x-1)x(x>0)，
当a<-2时，易得函数g(x)在(0,-1a)和(12,+∞)上单调递增，在(-1a,12)上单调递减；
当a=-2时，g'(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增；
当-20)，则φ'(t)=1-1t=t-1t(t>0)，
当t∈(0,1)时，φ'(t)<0，所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1,+∞)时，φ'(t)>0，所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(1,+∞)上单调递增．
所以函数φ(t)=t-lnt(t>0)在t=1时，取得最小值，最小值为1．
所以2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，即2(x1+x2)2+(x1+x2)-1≥0，所以x1+x2≥12或x1+x2≤-1．
因为x1,x2为正实数，所以x1+x2≥12． 当x1+x2=12时，x1x2=1，此时不存在x1,x2满足条件，
所以x1+x2>12．