【数学】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年高一6月月考试题

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【数学】山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年高一6月月考试题

山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年高一6月月考 数学试题 第I卷(选择题)‎ 一、选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.设向量 =(2,4)与向量 =(x,6)共线,则实数x=( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎2.设向量,若,则实数( )‎ A. ±1 B. ‎0 ‎C. D. ±2‎ ‎3.已知直线l是平面的斜线,则内不存在与l(   )‎ A. 相交的直线 B. 平行的直线 C. 异面的直线 D. 垂直的直线 ‎4.在△ABC中,点D满足,则( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.在△ABC中,为BC的三等分点,‎ 则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎7.在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足,‎ 若,则ac的值为 ( ) ‎ ‎ A. 12 B. ‎11 ‎ C. 10 D. 9‎ ‎8.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( ) ‎ A. B. 1 C. D. ‎ 二、多选题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎9.已知是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则与所成的角和与所成的角相等 ‎10.已知四棱台ABCD - A1B‎1C1D1的上下底面均为正方形,其中,,,则下述正确的是( )‎ A. 该四棱台的高为 B. ‎ C. 该四棱台的表面积为26 D. 该四棱台外接球的表面积为16π ‎11.正方体ABCD - A1B‎1C1D1的棱长为2, E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点,则( )‎ A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A‎1G与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 ‎12.在△ABC中,D在线段AB上,且若,则( )‎ A. B. △ABC的面积为8‎ C. △ABC的周长为 D. △ABC为钝角三角形 第II卷(非选择题)‎ 三、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知,,若和的夹角为钝角,则的取值范围是______ .‎ ‎14.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑,在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,且有,则此鳖臑的外接球O(A、B、C、D均在球O表面上)的直径为__________;过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.‎ ‎15.如图,P为△ABC内一点,且,延长BP交AC于点E,若,则实数的值为_______.‎ ‎16.已知,向量的夹角为,则的最大值为_____. ‎ 三、解答题(本题共6道小题,,共70分)‎ ‎17. 10分 已知:‎ ‎(1)若,求的坐标;‎ ‎(2)若与的夹角为120°,求.‎ ‎18.12分 如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎ 求证:(1)PB∥平面AEC;‎ ‎(2)平面PCD⊥平面PAD.‎ ‎19. 12分 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,‎ ‎,.‎ ‎(1)若,求证:△ABC为等腰三角形;‎ ‎(2)若,边长,角,求△ABC的面积.‎ ‎20. 12分 在△ABC中,,,且△ABC的面积为.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若D为BC上一点,且 ,求的值.‎ 从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.‎ ‎21. 12分 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,,∠ABC=∠BCD=90°,E为PB的中点.‎ ‎(1)证明:CE∥面PAD ‎(2)若直线CE与底面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎22. 12分 如图半圆O的直径为4,A为直径MN延长线上一点,且,B为半圆周上任一点,以AB为边作等边△ABC(A、B、C按顺时针方向排列)‎ ‎(1)若等边△ABC边长为a,,试写出a关于的函数关系;‎ ‎(2)问为多少时,四边形的面积最大?这个最大面积为多少?‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1.B 2.C 3 .B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.BCD 10.AD 11.BC 12.BCD 二、填空题 ‎13.且 14. 3 π 15 . 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解:(1)∵,∴,与共线的单位向量为.‎ ‎∵,∴或.‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎18.(1)证明: 连交于O, ‎ 因为四边形是正方形 ,所以 ,‎ 连,则是三角形的中位线, ,‎ 平面,平面 所以平面 . ‎ ‎(2)因为平面 ,所以 , ‎ 因为是正方形,所以, ‎ 所以平面, 所以平面平面.‎ ‎19. 解:⑴因为,所以,即,其中是的外接圆半径, 所以,所以为等腰三角形.‎ ‎⑵因为,所以.‎ 由余弦定理可知,,即 解方程得:(舍去)‎ 所以.‎ ‎20.解:(1) 由于 ,,,‎ 所以,由余弦定理 ,解得.‎ ‎(2)①当时,在中,由正弦定理, ‎ 即,所以. ‎ 因为,所以.‎ ‎ 所以, 即. ‎ ‎②当时,在中,由余弦定理知,‎ ‎. ‎ 因为,所以, ‎ 所以, 所以 ,即.‎ ‎21.解:解法一:(1)取PA中点Q,连接QD,QE, ‎ 则QE∥AB,且QE=AB∴QE∥CD,且QE=CD.‎ 即四边形CDQE为平行四边形,CE∥QD.‎ 又∵CE平面PAD,QD平面PAD,∴CE∥平面PAD.‎ ‎(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO 则EO∥PD,且EO=PD. ‎ ‎∵PD⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD. ‎ 则CO为CE在平面ABCD上的射影,‎ 即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角,∠ECO=45° ‎ 在等腰直角三角形BCD中,BC=CD=2,则BD=2,‎ 则在RtΔECO中,∠ECO=45°,EO=CO=BD=‎ ‎2PD=2E0=2,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴四棱锥P-ABCD的体积为.‎ 解法二:(1)取AB中点Q,连接QC,QE 则QE∥PA ‎∵PA平面PAD,QE平面PAD ‎∴QE∥平面PAD, ‎ 又∵AQ=AB=CD,AQ∥CD,‎ ‎∴四边形AQCDカ平行四迹形,‎ 则CQ∥DA ‎∵DA平面PAD,CQ平面PAD,‎ ‎∴CQ∥平面PAD, ‎ ‎ (QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD,证明其中一个即给2分)‎ 又QE平面CEQ,CQ平面CEQ,QECQ=Q,‎ ‎∴平面CEQ∥平面PAD, ‎ 又CE平面CQ,‎ ‎∴CE∥平面PAD. (2)同解法一.‎ ‎22.‎ 解:(1)由余弦定理得 则 ‎ ‎(2)四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积 则△ABC的面积 ‎△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ=4sinθ 四边形OACB的面积4sinθ=‎ sin(θ﹣)‎ ‎∴当θ﹣=,‎ 即θ=时,四边形OACB的面积最大,其最大面积为.‎
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