2018届陕西省榆林市高三二模考试数学理卷

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2018届陕西省榆林市高三二模考试数学理卷

‎2018届榆林市第二次高考模拟考试试题 理科数学 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知,为虚数单位,的实部与虚部互为相反数,则( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎3.已知,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍,则( )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎5.《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重上七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176两),问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤(即176两),问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的,分别为( )‎ A.90,86 B.98,78 C.94,82 D.102,74‎ ‎6.设,满足约束条件,则的最大值为( )‎ A.-1 B.3 C.9 D.12‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的最大值是( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎8.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.‎ 根据该折线图,下列结论正确的是( )‎ A.2016年各月的合储指数最大值是在3月份 B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55‎ C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52‎ D.2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大 ‎9.已知函数的最小正周期为,且其图象向右平移个单位后得到函数的图象,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A.4 B.6 C. D.‎ ‎11.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,为虚轴的一个端点,且为钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,,若成立,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. ‎ ‎13.已知单位向量,满足,则向量与的夹角为 .‎ ‎14.如图,长方体的底面是边长为1的正方形,高为2,则异面直线与的夹角的余弦值是 .‎ ‎15.两位同学分4本不同的书,每人至少分1本,4本书都分完,则不同的分发方式共有 种.‎ ‎16.在中,角,,的对边分别是,,,,若,则的周长为 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知正项数列满足,.数列的前项和满足.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查,各组人数统计如下:‎ 小组 甲 乙 丙 丁 人数 ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名,求这两名学生来自同一个小组的概率;‎ ‎(2)在参加问卷调查的10名学生中,从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名,用表示抽得甲组学生的人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,平面平面,,,在棱上运动.‎ ‎(1)当在何处时,平面;‎ ‎(2)当平面时,求直线与平面所成角的弦值.‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为和,上顶点为,若直线的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为,的周长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于,两点,点在点的上方,若,求直线的斜率.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若时,求函数的最小值;‎ ‎(2)若函数既有极大值又有极小值,求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,(为参数),曲线的参数方程为,(为参数).‎ ‎(1)将,的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的极坐标系方程为.若上的点对应的参数为,点在上,点为的中点,求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ 榆林市2017~2018年第二次模拟考试试卷 高三数学参考答案(理科)‎ 一、选择题 ‎1-5: CDCAB 6-10: CDDAB 11、12:DB 二、填空题 ‎13. (或) 14. 15. 14 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵,,∴,∴,‎ ‎∴是以1为首项,1为公差的等差数列,‎ ‎∴.‎ 当时,,当时也满足,∴.‎ ‎(2)由(1)可知:,‎ ‎∴.‎ ‎18. 解:(1)由已知得,问卷调查中,从四个小组中抽取的人数分别为3,4,2,1,‎ 从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种,‎ 这两名学生来自同一小组的取法共有,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)知,在参加问卷调查的10名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别为3,2,‎ 的可能取值为0,1,2,‎ ‎,,.‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎19. 解:(1)当为中点时,平面.∵设,在中,为中位线,即,又平面,平面,∴平面.‎ ‎(2)∵四边形是菱形,,,‎ ‎∴,均为等边三角形.‎ 取的中点,∵平面平面,∴平面.以为坐标原点,射线,,分别为,,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.‎ ‎∴,,.‎ 设平面的法向量为,则由,,‎ 得,取,得.‎ 记直线与平面所成角为,则 ‎.‎ ‎20. 解:(1)因为的周长为,所以,即.‎ 由直线的斜率为1,得,‎ 因为,所以,.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由题可得直线方程为,联立得,‎ 所以.‎ 因为,即,‎ 所以.‎ 当直线的斜率为0时,不符合题意,‎ 故设直线的方程为,,,由点在点的上方,则.‎ 联立得,所以.‎ 消去得,所以,得,,‎ 又由画图可知不符合题意,所以.‎ 故直线的斜率为.‎ ‎21. 解:(1)当时,,定义域为.‎ ‎,令,可得.‎ 列表:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以,函数的最小值为.‎ ‎(2),定义域为,.‎ 记,,,‎ ‎①当时,,在上单调递增,‎ 故在上至多有一个零点,‎ 此时,函数在上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意;‎ ‎②当时,令,可得,列表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 若,即,,即,‎ 故函数在上单调递减,函数在上不存在极值,与题意不符,‎ 若,即时,‎ 由于,且,‎ 故存在,使得,即,‎ 且当时,,函数在上单调递减;‎ 当时,,函数在上单调递增,函数在处取极小值.‎ 由于,且(事实上,令,,故在上单调递增,所以).‎ 故存在,使得,即,‎ 且当时,,函数在上单调递增;‎ 当时,,函数在上单调递减,函数在处取极大值.‎ 综上所述,当时,函数在上既有极大值又有极小值.‎ ‎22. 解:(1)的普通方程为,‎ 它表示以为圆心,1为半径的圆,‎ 的普通方程为,‎ 它表示中心在原点,焦点在轴上的椭圆.‎ ‎(2)由已知得,设,则,‎ 直线:,‎ 点到直线的距离,‎ 所以,即到的距离的最小值为.‎ ‎23.(1)证明:因为,‎ 而,‎ 所以.‎ ‎(2)解:因为,‎ 所以或,‎ 解得,所以的取值范围是.‎
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