湖南省郴州五中2012届高三上学期第三次月考数学（文）

湖南省郴州五中2012届高三上学期第三次月考数学（文）

湖南省郴州五中 2012 届高三上学期第三次月考数学（文） 一、选择题 1、设 M（ ， ）为抛物线 C： 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 为半径的圆 和抛物线 C 的准线相交，则 的取值范围是 （ ） A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 2、复数 z= （ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、若点（a,9）在函数 的图象上，则 tan =的值为 （ ） A．0 B． C．1 D． 4、曲线 在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 （ ） A．-10 B．－3 C．10 D．15 5、已知 a，b，c∈R，命题“若 =3，则 ≥3”，的否命题是 （ ） A．若 a+b+c≠3，则 <3 B．若 a+b+c=3，则 <3 C．若 a+b+c≠3，则 ≥3 D．若 ≥3，则 a+b+c=3 6、若函数 （ω>0）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω= （ ） A． B． C．2 D．3 7、设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8． 5 0x 0y 2 8x y= FM 0y 2 2 i i − + i 3xy = 6 aπ 3 3 3 2 11y x= + a b c+ + 2 2 2a b c+ + 2 2 2a b c+ + 2 2 2a b c+ + 2 2 2a b c+ + 2 2 2a b c+ + ( ) sinf x xω= 0, 3 π     ,3 2 π π     2 3 3 2 2 5 0 2 0 0 x y x y x + − ≤  − − ≤  ≥ 2 3 1z x y= + + B A C D 8、若直线 过圆 的圆心,则 a 的值为 （ ） A． 1 B．1 C． 3 D． 3 9、若数列 的通项公式是 （ ） A．15 B．12 C．－12 D．－15 10、设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}， N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = （ ） A．[1,2） B．[1,2] C．（ 2,3] D．[2,3] 二、填空题 11、已知 。 12、已知△ABC 中的一个内角为 120 0，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则△ABC 的面积 为 。 13、在四边形 ABCD 中， ，则四边形 ABCD 的 面积为。 14 、 已 知 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 ， 且 对 任 意 实 数 a 、 b 满 足 ，有以下结论： ① ② 为偶函数；③数列｛an｝为等比数列；④数列｛bn｝为等差数列。其中正确结 论的序号是 。 x y a3 + + = 0 x y x y2 2+ + 2 − 4 = 0 − − }{ na 1 2 10( 1) (3 2),n na n a a a= − − + + + =则 1 2sin( ) cos( 2 )6 3 3 π πα α+ = − =，则 1 1 3(1,1),| | | | | |AB DC BA BC BDBA BC BD = = ⋅ + ⋅ = ⋅       ( )f x (2 ) (2 )( ) ( ) ( ), (2) 2, ( *), ( *)2 n n n n n f ff a b af b bf a f a n N b n Nn ⋅ = + = = ∈ = ∈ (0) (1)f f= ( )f x 15、若 。 三、解答题 16、已知函数 ， （1）当 t＝1 时，求曲线 处的切线方程； （2）当 t≠0 时，求的单调区间； （3）证明：对任意的 在区间（0，1）内均存在零点。 17、已知 ， （1）求 的值； （2）求β。 18、设函数 是奇函数（a，b，c 都是整数），且 ， （1）求 a，b，c 的值； （2）当 x＜0， 的单调性如何？用单调性定义证明你的结论。 19、已知等差数列｛an｝中，a3＝－4，a1＋a10＝2， （1）求数列｛an｝的通项公式； （2）若数列｛bn｝满足 an＝log3bn，设 Tn＝b1·b2……bn，当 n 为何值时，Tn＞1。 2{ | 1}, { | 1} =A x y x B y y x A B= = + = = + ∩，则 3 2 2( ) 4 3 6 1,f x x tx t x t x R t R= + − + − ∈ ∈，其中 ( ) (0, (0))y f x f= 在点 (0, ), ( )t f x∈ +∞ 1 13cos ,cos( ) , 07 14 2 πα α β β α= − = < < <且 tan 2α 2 1( ) axf x bx c += + (1) 2, (2) 3f f= < ( )f x 20 、 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 已 知 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 且 ， （1）若 c2＝a2＋b2—ab，求角 A、B、C 的大小； （2）已知向量 的取值范围。 21、已知向量 ， （1）求 的最大值和最小值； （2）若 ，求 k 的取值范围。 以下是答案 一、选择题 1、答案:C 解析:由题意只要 即可，而 所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的 位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。 2、答案:D 解析: 简单考查乘除复数运算及复数的几何意义,是简单题. 3、答案:D 解析:由题意 ,简单的考查指数函数及指数运算以及三角函数,是简单题. 4、答案:C 解析: 所以在点 P（1，12）处的切线为 ,令 x=0 得:x=10,简 单考查导数运算以及几何意义,直线方程,是简单题. 5、答案:A 解析:简单考查写否命题,只要对条件和结论都作否定,是简单题. 6、答案:B 3tan tan (1 tan tan )3A B A B− = + (sin ,cos ), (cos ,sin ), | 3 2 |m A A n B B m n= = −   求 3 3(cos ,sin ), (cos , sin ), [0, ]2 2 2 2 3a b θ θ θ θ πθ= = − ∈  | | a b a b ⋅ +     | | 3 | | ( )ka b a kb k R+ = − ∈    4FM > 0 02, 2,FM y y= + ∴ > 22 (2 ) 3 4 2 5 5 5 i iz ii − −= = = −+ 3 9, 2, tan 36 a aa π= ∴ = ∴ = ' 1 2,xy = = 12 2( 1), 2 10 0y x x y− = − − + =即 解析:函数 的周期 ,因为在区间 上单调递增，在区间 上单调递减,所 以, .简单考查三角函数的图像和单调性,周期问题,是简单题. 7、答案:B 解析: 约束条件 确定的可行域如图，解方程组 得 ，所以，当 时， 取得最大值。该题简单考查线性规划问题的求解，是简单题。 8、答案:B 解析:因为圆 的圆心为（-1,2），由直线 过圆 的 圆心得：a=1.该题简单的考查直线与圆的位置关系，是简单题。 9、答案:A 解析:因为 所以 ， 简单考查通项公式以及简单求和，是简单题。 10、答案:A 解析:该题考查简单的二次不等式求解和集合的交运算,是简单题. 二、填空题 11、答案: 解析:因为 该题主要考查诱导 公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 与 中的角之间的余角关系，属 于中档题。 12、答案: 解析:由题意可以设三边长分别为：a-4,a,a+4,则由余弦定理得： 由正弦定理面积公式得： 。这是今年的一道高考题，综合考查等差数列概念，正余弦定理，是中档 题。 13、答案: ( ) sinf x xω= 2T π ω= 0, 3 π     ,3 2 π π     3,4 3 2 T π ω= ∴ = 2 5 0 2 0 , 0 x y x y x + − ≤  − − ≤  ≥ 2 5 0 2 0 x y x y + − =  − − = 3 1 x y =  = 3 1 x y =  = 2 3 1z x y= + + x y x y2 2+ + 2 − 4 = 0 x y a3 + + = 0 x y x y2 2+ + 2 − 4 = 0 ( 1) (3 2)n na n= − − 1 2 10 ( 1 4) ( 7 10) 28 15a a a+ + + = − + + − + + + =  7 9 − 2 7cos( ) sin( ), cos2( ) 2sin ( ) 1 ,3 6 3 6 9 π π π πα α α α− = + ∴ − = + − = − cos( )3 π α− sin( )6 π α+ 15 3 2 2 2( 4) ( 4) 2 ( 4)cos120 , 10,a a a a a a+ = + − − − ∴ = 1 ( 4)sin120 15 32S a a= − = 3 解 析 : 由 可 得 且 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 再 由 可知 D 在 的角平分线上，且以 及 上单位边长为边的 平 行 四 边 形 的 一 条 对 角 线 长 （ 如 图 ） 是 ， 因 此 ， 所 以 。该题由 考查向量相等的概念和求摸 以及几何意义，由 考查向量的加法的几何意义，该题还考查正弦定 理面积公式以及转化能力，是难题。 14、答案: ①③④ 解 析 : 因 为 取 得 取 得 取 得 取 得 由 得 代入（1）得 。该题通过函数方程考查函数性质与递推数 列求数列通项公式，既考查函数方程问题一般的研究方法：赋值，又考查转化化归，对能力要求较高，是 难题。 15、答案: 解析:由 简单考查函数的定义域与值域，由 考查集合 的交运算， 。属于简单题。 三、解答题 16、解析:（1）简单考查导数的几何意义，导数运算以及直线方程；（2）考查导数在研究函数的单调性 方面的运用，分类讨论；（3）考查分类讨论，函数与方程以及函数零点的性质，是中档偏上题。 （1）当 t＝1 时， （2） (1,1)AB DC= =  2AB DC= =  1 1 3 | | | | | | BA BC BD BA BC BD ⋅ + ⋅ = ⋅      ABC∠ BA BC 3PB = 3ABC π∠ = AB=BC,S 2 2 sin 33ABCD AB BC π= ⋅ = =  (1,1)AB DC= =  1 1 3 | | | | | | BA BC BD BA BC BD ⋅ + ⋅ = ⋅      , , ( ) ( ) ( ), 1, 1, (1) 0a b R f a b af b bf a a b f∀ ∈ ⋅ = + ∴ = = =取 得 ， a=2, b=2, (4) 4 (2) 8,f f= = 0, 2a b= = (0) 2 (0), (0) 0,f f f= ∴ = a=- 2, b=- 2, (4) 4 ( 2), ( 2) 2,f f f= − − ∴ − = − 12, 2 ,na b −= = 1 1(2 ) 2 (2 ) 2 (2)n n nf f f− −= + 1 1 1 (2 ) (2 )2 (2 ) 2 , 1,(1)2 2 n n n n n n f ff − − −= + ∴ = + (2 ) ( *) n n fa n Nn = ∈ (2 )n nf na= 1 11 ( 1) 1, (2) 2, , 22 2 2 nn n n nn n n na n a naa f n a− − −= + = = ∴ = ∴ = [1, )+∞ 2{ | 1}, { | 1}A x y x B y y x= = + = = + A B∩ [ 1, ), [1, ), [1, )A B A B= − +∞ = +∞ ∴ = +∞ 3 2 2( ) 4 3 6 , (0) 0, ( ) 12 6 6, (0) 6,f x x x x f f x x x f′ ′= + − = = + − = − ( ) (0, (0)) 6 .y f x f y x= = −所以曲线 在点 处的切线方程为 2 2( ) 12 6 6 , ( ) 0 .2 tf x x tx t f x x t x′ ′= + − = = − =令 ，解得 或 因为 t≠0，以下分两种情况讨论： ①若 的变化情况如下表： x （－t，∞） ＋ － ＋ 所以， 的单调递增区间是 ，（－t，∞）； 的单调递减区间是 。 ②若 的变化情况如下表： 所 以 ， 的单调递增区间是（－∞，t）， ； 的单调递减区间是 。 综上可得： 当 t<0 时， 的单调递增区间是 ，（－t，∞）； 的单调递减区间是 当 t>0 时, 的单调递增区间是（－∞，t）， ； 的单调递减区间是 。 （3） 由（2）可知，当 t＞0 时， 在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情 况讨论： （4） ①当 在（0，1）内单调递减， 所以对任意 在区间（0，1）内均存在零点。 ②当 时， 在 内的单调递减，在 内单调递增， 0 , x ( ) ( )2 tt t f x f x′< < −则 当 变化时， ( , )2 t−∞ ( , )2 t t− ( )f x′ ( )f x ( )f x ( , )2 t−∞ ( )f x ( , )2 t t− 0 , x ( ) ( )2 tt t f x f x′> − <则 当 变化时， ( )f x ( , )2 t +∞ ( )f x ( , )2 tt− ( )f x ( , )2 t−∞ ( )f x ( , )2 t t− ( )f x ( , )2 t +∞ ( )f x ( , )2 tt− ( )f x (0, )2 t ( , )2 t +∞ 1 2 ( )2 t t f x≥ ≥即 时， 2(0) 1 0, (1) 6 4 3 6 4 4 2 3 0.f t f t t= − > = − + + ≤ − × − × + < [2, ], ( )t f x∈ +∞ 0 1 0 22 t t< < < <即 ( )f x (0, )2 t ( ,1)2 t 3 3 2 3 3 1 7 7(0,1], ( ) 1 1 0,2 4 4 (1) 6 4 3 6 4 3 2 3 0, ( ) ( ,1) .2 1 7 7(1,2), ( ) ( 1) 1 0, (0) 1 0,2 4 4 ( ) (0, )2 t f t t f t t t t t tf x t f t t t f t tf x ∈ = − + − ≤ − < = − + + ≥ − + + = − + > ∈ = − + − < − + < = − > 若 所以 在 内存在零点 若 所以 在 内存在零点. 17、解析:该题通过 求 的值，考查三角函数的同角关系式及其符号判 断和正切的二倍角公式；通过 求β，考查考查三角函数的 同角关系式、三角函数符号判断、变角和余弦的差角公式以及知值求角；考查转化能力和运算能力，是中 档题。 （1） （2） 18 、 又 又 a，b，c 是整数，得 b＝a＝1。 1cos ,(0 )7 2 πα α= < < tan 2α 1 13cos ,cos( ) , 07 14 2 πα α β β α= − = < < <且 2 21 1 4 3cos ,0 , sin 1 cos 1 ( ) ,7 2 7 7 πα α α α= < < = − = − =由 得 2 2 sin 4 3 7tan 4 3.cos 7 1 2tan 2 4 3 8 3tan 2 .1 tan 471 (4 3) αα α αα α ∴ = = × = ×= = = −− −于是 0 , 0 ,2 2 π πβ α α β< < < < − <由 得 2 213 13 3 3cos( ) , sin( ) 1 cos ( ) 1 ( ) ,14 14 14 ( ), cos cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( ) 1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2 3 α β α β α β β α α β β α α β α α β α α β πβ − = ∴ − == − − = − = = − − = − − = − + − = × + × = ∴ =  由 得 1 2(1) 1 2 32 1 0(2) 3 4 1 232 a f bb a bf a b b + == −⇒ = − < < +  < ① 由①得 代入②得 ② 30 ,2b⇒ < < （1） 由（1）知 ，当 x＜0， 在（－∞，－1）上单调递增 （2） 在[－1，0）上单调递减，下用定义证明之。 同理，可证 在[－1，0）上单调递减。 19、解析:该题通过条件等差数列｛an｝中，a3＝－4， a1＋a10＝2，求数列｛an｝的通项公式考查等 差数列的概念和通项公式；在（2）中通过对数考查等差等比之间的关系以及等差数列求和，通过 Tn＞1 求 n 范围考查指数的性质以及解二次不等式；是简单题。 （1）设数列｛an｝的公差为 d，则 ， 解之得 ， （2） 20、解析:该题通过条件 考查正切的差角公式以及知值求角问题，又 通过 c2＝a2＋b2—ab 考查余弦定理；在（2）中考查向量的求摸和正弦的和角公式以及三角形中内角和公 式和求三角函数值域；该题综合考查三角函数的和差角、余弦定理、向量的求摸以及三角函数的知值求角 问题，是中档题。 （1）由已知得 （2） 2 1 1( ) xf x xx x += = + ( )f x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11, ( ) ( ) ( ) 1 1( )(1 ), 1, 0,1 0, ( ) ( ) 0 ( ) ( , 1] x xx x f x f x x x x xx x x x x x x x x xx x x x f x f x f x −< ≤ − = + − + = − + = − − < ≤ − − < − > − < −∞ − 设 则 因为 ，故 在 上单调递增. ( )f x 1 1 2 4 2 9 2 a d a d + = −  + = 1 8 2 a d = −  = 8 2( 1) 2 10na n n= − + − = − 2 103 3na n nb −= = 2 2 1 10 2 2 10 2 10 2 1 10 2 2 10 2 10 1 2 2(1 2 ) 10 9 2 3 3 3 3 3 3 1, 9 0, 9, 9, * , 1. n n n n n n n n n n T b b b T n n n n n N T × − × − − × − + × − + + − + + + − − ∴ = ⋅ = ⋅ = = = ∴ > ∴ − > ∴ > ∴ > ∈ >     当 且 时 3tan tan (1 tan tan )3A B A B− = + tan tan 3 3, tan( ) .1 tan tan 3 3 A B A BA B − = − =+ 故 2 2 2 2 2 2 0 0 ,2 2 2 2 6 1cos .2 2 3 5, , , , .6 3 12 4 3 A B A B A B a b cc a b ab C Cab A B C A B C A B C π π π π π π π π π π ππ < < < < − < − < − = + −= + − = = = + + = − = = = = = 又 ， ，从而 ，即 由 得 ，故 由 可得 2 2 2|3 2 | 9 | | 12 4 | | 13 12(sin cos cos sin )m n m m n n A B A B− = − ⋅ + = − +      13 12sin( ) 13 12sin(2 ),6 0 ,0 ,0 (2 )6 2 2 6 2 6 3 5 12 sin(2 ) ( ,1) |3 2 | (1, 7).2 6 6 6 2 A B B A B B C B B B B m n π π π π π π π ππ π π π π = − + = − + < = + < < < < = − + < < < < + < + ∈ − ∈  得 ， 从而 ，故 ，即 21、解析:（1）考查向量的数量积运算、向量求摸、换元转换求函数值域问题以及导数在研究函数值域方 面的运用；（2）考查向量的遇模平方以及等量转换，函数与方程的思想和解不等式组；整个试题综合性 较高，考查的知识较多，运算量较大是一个中等偏上的试题。 （1） （2）由 3 3cos cos sin sin cos2 ,2 2 2 2a b θ θ θθ θ⋅ = − =  2 22 2| | 2 2 2cos2 4cos ,a b a b a b θ θ+ = + + ⋅ = + =      2 2 2 max min cos2 2cos 1| | 2cos ( [0, ], .3 2cos 2cos| | 1 2 1 1 1cos , [ ,1], ( [ ,1]),2 2 2 2| | 1 1 11 0, [ ,1] .2 2 2 1 1 1 1 11 , .12 1 2 2 22 2 a ba b a b a b tt t y t tt ta b y y tt t y y π θ θθ θ θ θ θ ⋅ −∴ + = ∈ ∴ = =+ ⋅ −= ∈ = = = − ∈+ ′ = + > ∴ = − ∴ = − = = − = −× ×         令 在 上递增 2 2| | 3 | | ( ) =3( ) ,ka b a kb ka b a kb+ = − + −       有 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( 2 ), | | | | 1, 11 2 3(1 2 ), .4 1 1 1cos2 , [0, ] 1, 1.3 2 2 4 1 1 ( 1)0, 04 2 4 1 4 11 0, 04 4 k a b ka b a ka b k b a b kk ka b k ka b a b k ka b a b k k k k k k k k k k πθ θ + = ⋅ = − ⋅ + = = +∴ + + ⋅ = + − ⋅ ∴ ⋅ = +⋅ = ∈ − ≤ ⋅ ≤ ∴− ≤ ≤  + ++ ≥ ≥∴ ⇒ + − + − ≤ ≤                     即 又 由 有 1 0 0 2 3 2 3 1 2 3 2 3. { | 1 2 3 2 3}. k k k k k k k k k k  = − > ⇒  < − ≤ ≤ +   ⇒ = − − ≤ ≤ + = − − ≤ ≤ + 或 或 或 综上所述： 的取值范围为 或