内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

集宁一中西校区2019-2020学年第二学期第二次月考 高二年级文科数学试题 一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A＝{x｜－2x－3≤0}，B＝{x｜y＝ln（2－x）}，则A∩B＝‎ A. （1，3） B. （1，3] C. [－1，2） D. （－1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：解一元二次不等式得到集合A，求对数函数的定义域得到集合B，然后再求交集即可．‎ 详解：由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴A∩B＝．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查二次不等式的解法、函数定义域的求法和集合的交集，考查学生的运算能力，属于容易题．‎ ‎2.命题：使；命题：都有.下列结论正确的是（ ）‎ A. 命题是真命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 命题：，故不存在使，命题为假命题 命题：，故命题为真命题 故命题是真命题 故选 ‎3.已知则是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得，因为 是减函数，所以成立，当时，成立，因为正负不确定，不能推出，故是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎4.下面放缩正确的是(　　)‎ A. a2＋‎2a＋1＞a2＋1 B. a2＋‎2a＋1＞a2＋‎‎2a C. |a＋b|＞|a| D. x2＋1＞1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用放缩法，结合均值不等式，即可证明结论 ‎【详解】A. a2＋‎2a＋1＞a2＋1错误，因为不能确定a＞0. B. a2＋‎2a＋1＞a2＋‎2a正确 C. |a＋b|＞|a|错误，例如a=3，b=-2. D. x2＋1＞1错误.当x=0时不满足.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查的是放缩法和举例说明式子的正确与否，属于基础题.‎ ‎5.命题“对于任意角θ，”的证明：“”，‎ 其过程应用了 A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法综合使用 D. 间接证法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.设，则=‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．‎ ‎【详解】因为，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，所以，其他选项用特殊值法排除，得到答案.‎ ‎【详解】由得，所以.‎ 对于，取，不成立；对于取，不成立；对于取，不成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎8.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）‎ ‎①已知，由，求得的最小值为2‎ ‎②由，求得最小值为2‎ ‎③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4.‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式求最值得条件：一正、二定、三相等逐一判断即可.‎ ‎【详解】对于①，当与同号时，；‎ 当与异号时，，故①不正确.‎ 对于②，，‎ 当，即，等号成立的条件不存在，故②不正确. ‎ 对于③，，‎ 当且仅当取等号，由于，积不是定值，故③不正确；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题.‎ ‎9. 下列命题：‎ ‎①‎2010年2月14日既是春节，又是情人节；‎ ‎②10的倍数一定是5的倍数；‎ ‎③梯形不是矩形．‎ 其中使用逻辑联结词的命题有(　　)‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 主要考查简单的逻辑联结词的含义．‎ 解：①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．故选C .‎ ‎10.将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，然后代入即可得出答案.‎ ‎【详解】由得，代入得 所以 所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为 故选：A ‎【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.‎ ‎11.如图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中依次应填入（　　）‎ A. 整理数据、求函数关系式 B. 画散点图、进行模型修改 C. 画散点图、求函数关系式 D. 整理数据进行模型修改 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎12.与参数方程，等价的普通方程为（ ）‎ A. ，，‎ B. ，，‎ C. ，，‎ D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中参数方程，消去参数，得到普通方程，再由题意求出的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】由消去，可得；‎ 又，，‎ 所以，所求普通方程为，，.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，经过计算，消去参数即可，并注意变量的取值范围，属于常考题型.‎ 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上 ‎13.不等式：解集为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】或，‎ 解得或，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，掌握绝对值的几何意义是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.函数的最小值是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值三角不等式即可求得该函数的最小值.‎ ‎【详解】因为，‎ 当且仅当，即时，取得最小值.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查由绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最小值，注意取等的条件即可.‎ ‎15.若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，从而可得公式，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式．‎ 考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．‎ ‎【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．‎ ‎16.己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由柯西不等式得，所以，即.‎ 考点：柯西不等式 三､解答题：(共70分，要求写出答题过程)‎ ‎17.用数学归纳法证明：‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 验证当时，等式成立；然后假设时等式成立，验证当时等式也成立即可.‎ 详解】证明：①当时，左边，右边，左边右边 ‎②假设时等式成立，‎ 即 那么当时，‎ 可得，‎ 即等式成立.‎ 综合①②可得等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查了数学归纳法证明等式，需掌握数学归纳法的证明方法与步骤，属于基础题.‎ ‎18.已知，求的最小值.（利用柯西不等式）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式进行求解．‎ ‎【详解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36），‎ ‎，当且仅当 ‎【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．‎ ‎19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．‎ 分数段 ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男 ‎3‎ ‎9‎ ‎18‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎9‎ 女 ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；‎ ‎（2）规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．‎ 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 附表及公式：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）从男、女生各自平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关；‎ ‎（2）‎ 优分 非优分 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出平均分，观察男生与女生平均分大小关系即可；‎ ‎（2）由分数段内学生人数，填写列联表，由计算公式求出K2，与附表中2706比较即可得出结论.‎ ‎【详解】(1) 男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，‎ 女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，‎ 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．‎ ‎（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：‎ 优分 非优分 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 可得K2≈1.79，‎ 因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．‎ ‎【点睛】本题考查数据的计算以及独立性检验的方法，题意列出列联表根据公式计算即可，注意计算的准确性.‎ ‎20.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程：（为参数），椭圆的参数方程为：‎ ‎（为参数），且直线交曲线于两点.‎ ‎（1）将椭圆的参数方程化为普通方程，并求其离心率；‎ ‎（2）已知，求当直线的倾斜角时，的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用平方关系消去参数得 ，进而得到椭圆的离心率；（2）将直线的参数方程得：，借助韦达定理求的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由得消去参数得 ． ‎ 在椭圆中，，，则，则椭圆的离心率． ‎ ‎（Ⅱ）当时，的参数方程：（为参数），代入椭圆方程得 由的几何意义知．‎ ‎21.已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，，求导，由题意可知在上恒成立，则，根据二次函数的性质，即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】设，，‎ 求导，‎ 由，可知，即 ‎∴在上单调递增，‎ 则在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 则在恒成立，‎ 设，，‎ 函数的对称轴为，‎ 则当时，取得最大值，最大值为，‎ ‎，‎ 则实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的定义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则、不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）将直线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程化为普通方程为，‎ 代入互化公式可得直线的极坐标方程 ‎（2）椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，‎ 得，即，解得，，‎ 所以．‎ 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长