2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，则∠A等于（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用余弦定理即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，∴（b+c）2﹣a2＝3bc，‎ 化为：b2+c2﹣a2＝bc．‎ ‎∴cosA．A∈（0，π）．‎ ‎∴∠A．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎2．方程表示椭圆的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合椭圆的定义和方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ 若方程表示椭圆，则m＞0且m≠4，‎ ‎∴m＞0是方程表示椭圆的一个必要不充分条件，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握椭圆的定义和方程形式．‎ ‎3．在等差数列中，若，则（ ）‎ A．11 B．55 C．10 D．60‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列前后项关系可用和表示出已知等式，从而求得；利用等差数列性质可知，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为，由得：‎ 即： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式和性质的应用，关键是能够利用已知等式求得中间项，进而利用等差数列性质求得结果.‎ ‎4．若圆锥曲线：的离心率为2，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以，选C.‎ ‎5．下列说法中，正确的序号是（　　）‎ ‎①“b＝2”是“1，b，4成等比数列”的充要条件；‎ ‎②“双曲线与椭圆有共同焦点”是真命题；‎ ‎③若命题p∨￢q为假命题，则q为真命题；‎ ‎④命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0的否定是：∃x∈R，使得x2﹣x+1≤0．‎ A．①② B．②③④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用充要条件以及等比数列的性质判断①的正误；双曲线与椭圆的焦点坐标判断②的正误；复合命题的真假判断③的正误；命题的否定形式判断④的正误.‎ ‎【详解】‎ 解：①“b＝2”可知“1，b，4成等比数列”，反之“1，b，4成等比数列”,则b＝2或b ‎＝-2，所以“b＝2”是“1，b，4成等比数列”的充分不必要条件；所以①不正确；‎ ‎②“双曲线的焦点坐标（±2，0）；椭圆的焦点坐标（±2，0），所以椭圆与双曲线有共同焦点”是真命题；所以②正确；‎ ‎③若命题p∨￢q为假命题，p与￢q都是假命题，所以q为真命题；所以③正确；‎ ‎④命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0的否定是：∃x∈R，使得x2﹣x+1≤0，满足命题的否定形式，所以④正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及复合命题的真假的判断，圆锥曲线的性质的判断，是基本知识的考查．‎ ‎6．已知正方体,为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立空间直角坐标系，求出向量与的向量坐标，利用数量积求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 设正方体的棱长为1，则，，，，‎ ‎∵为的中点 ‎∴‎ ‎∴，；，.‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM（或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．‎ ‎7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎8．已知△ABC的外接圆直径是，若，，则S△ABC＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可画出图形，根据条件，由正弦定理即可求出sinB，从而根据 即可得出，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：如图，‎ ‎∵，△ABC的外接圆直径是，‎ ‎∴由正弦定理得，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴cosB＞0，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形外接圆的定义，正弦定理，sin2α+cos2α＝1，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过点M（﹣2，2），则k＝（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据kAM•kBM＝﹣1列方程解出k ‎【详解】‎ 解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），‎ 联立，得k2x﹣（4k2+8）x+4k2＝0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2＝4，x1x2＝4．‎ ‎∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k，y1y2＝﹣16．‎ ‎∵以AB为直径的圆过点M（﹣2，2），∴kAM•kBM＝﹣1，‎ 即1．‎ ‎∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+2（x1+x2）+4＝0．‎ ‎∴﹣164+4+2（4）+4＝0，‎ 整理得：k2﹣4k+4＝0，解得k＝2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎10．若对满足条件3x+3y+8＝2xy（x＞0，y＞0）的任意x、y，（x+y）2﹣a（x+y）+16≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，8] B．[8，+∞） C．（﹣∞，10] D．[10，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用基本不等式把已知的等式变形得到关于x+y的不等式，求解不等式得到x+y的范围，换元后由（x+y）2﹣a（x+y）+16≥0恒成立求解a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由3x+3y+8＝2xy，得3（x+y）+8＝2xy，‎ 即（x+y）2﹣6（x+y）﹣16≥0，解得x+y≥8．‎ 令t＝x+y，则t≥8．‎ 则问题变成了t2﹣at+16≥0对t∈[8，+∞）恒成立，‎ 即 ，而在[8，+∞）单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式中含参数的范围问题，考查了换元法与参变分离的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．‎ ‎11．F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得右焦点F（c，0），‎ 设一渐近线OA的方程为yx，‎ 则另一渐近线OB的方程为yx，‎ 由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，‎ 可得A的横坐标为，‎ 由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，‎ 可得B的横坐标为．‎ 由3，‎ 可得3（c）c，‎ 即为2c，‎ 由e，可得2，‎ 即有e4﹣4e2+3＝0，解得e2＝3或1（舍去），‎ 即为e．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．‎ ‎12．将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2018，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M＝（ ）‎ A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017‎ ‎【答案】B ‎【解析】记第行的第一个数为，由规律可总结得到，构造出，可知为等差数列，从而可求得，根据共行，知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 记第行的第一个数为 则，，，，…，‎ ‎，即是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ 又每行比上一行的数字少个 最后一行为第行 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由数列中的项求解通项公式的问题，关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律，总结出递推关系式，利用构造的方式得到等差数列，从而求得数列的通项公式.‎ 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 ‎14．已知点P（x，y）在双曲线4x2﹣y2＝1的渐近线与直线l：6x﹣y﹣8＝0所围成的三角形区域（包含边界）内运动，则x+2y的最大值为_____．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意可求得双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线为2x±y＝0，从而画出平面区域D，利用线性规划求最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线为2x±y＝0，‎ 故由题意作出平面区域D，‎ 故当x，y都取最大值，即过点A（2，4）时，‎ z＝x+2y有最大值10；‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥曲线的定义及学生的作图能力，同时考查了线性规划的解决方法，属于中档题．‎ ‎15．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以当且仅当时等式的解集为空集，因此实数a的取值范围是 ‎【考点】解不等式 ‎16．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据，，成等差数列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 所以,‎ 所以 因为 所以 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：，命题的夹角是钝角；若p∨q为真，p∧q为假，求x的取值范围．‎ ‎【答案】{x|﹣4≤x＜0或x＞1}．‎ ‎【解析】先判断两个命题都是真命题时的x的范围，若p∨q为真，p∧q为假，则一个真命题，一个假命题，分别讨论计算出x 的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：命题p为真命题时：1⇒x＞1或x＜0；‎ 命题q为真命题时满足：cos，，夹角是钝角时，‎ cos0，•0且与不共线，即3x+2（2﹣x）+0＜0且 ‎⇒x＜﹣4；‎ 若p∨q为真，p∧q为假，则qp中一个真命题，一个假命题，‎ 当p真命题q假命题时：⇒﹣4≤x＜0或x＞1；‎ 当q真命题p假命题时：⇒x∈∅，‎ 综上可得x的取值范围：{x|﹣4≤x＜0或x＞1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题之间的关系，考查分式不等式的解法，向量夹角的应用，属于简单题．‎ ‎18．在中，角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）要求角,只能从入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.‎ ‎（2）从入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据正弦定理有:‎ ‎,化简得,‎ 根据余弦定理有, 所以.‎ ‎（2）根据正弦定理将化简,同时将（1）代入,化简为 因为,,‎ 所以.‎ 故,的取值范围是 ‎【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.‎ ‎19．已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S10＝100，a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）bn＝anan+1+an+an+1+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．‎ ‎【解析】（1）设公差d不为0的等差数列{an}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得bn＝4n（n+1），（），运用数列的裂项相消求和，化简即可得到所求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）公差d不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，‎ 若S10＝100，a1，a2，a5成等比数列，则10a1+45d＝100，‎ a22＝a1a5，‎ 即（a1+d）2＝a1（a1+4d），‎ 解得a1＝1，d＝2，‎ 则an＝2n﹣1；‎ ‎（2）bn＝anan+1+an+an+1+1‎ ‎＝（2n﹣1）（2n+1）+2n﹣1+2n+1+1‎ ‎＝4n（n+1），‎ ‎（），‎ 则前n项和Tn（1）（1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，数列的裂项相消求和，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．‎ ‎20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．‎ ‎（1）求证：EB∥平面PCD；‎ ‎（2）求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ．‎ ‎【解析】（1）取AD中点F，连结EF、BF，推导出BF∥CD，EF∥PD，从而平面BEF∥平面PCD，由此能证明EB∥平面PCD．‎ ‎（2）连结PF，则PF⊥平面ABCD，四边形BCDF是边长为1的菱形，△ABF是边长为1的等边三角形，以F为原点，在平面ABCD中过F作AD的垂线为x轴，FD为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PCD所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取AD中点F，连结EF、BF，‎ ‎∵BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点，‎ ‎∴BF∥CD，EF∥PD，‎ ‎∵BF∩EF＝F，CD∩PD＝D，‎ ‎∴平面BEF∥平面PCD，‎ ‎∵EB⊂平面BEF，∴EB∥平面PCD．‎ ‎（2）解：连结PF，∵四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，‎ 四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．‎ ‎∴PF⊥平面ABCD，四边形BCDF是边长为1的菱形，△ABF是边长为1的等边三角形，‎ 以F为原点，在平面ABCD中过F作AD的垂线为x轴，FD为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），C（，，0），D（0，1，0），‎ ‎（0，﹣1，﹣1），（，，﹣1），（0，1，﹣1），‎ 设平面PAC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（，1，﹣1），‎ 设平面PCD的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（，1，1），‎ 设平面PAC与平面PCD所成角为θ，‎ 则cosθ．‎ ‎∴平面PAC与平面PCD所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝3，当n≥2时，an﹣1+an＝4n；对于任意的正整数n，．设{bn}的前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求满足13＜Sn＜14的n的集合．‎ ‎【答案】(1) an＝2n+1；bn＝（4n﹣1）•（）n﹣1；(2) {n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．‎ ‎【解析】（1）求得a2，a3，将an﹣1+an＝4n中的n换为n﹣1，相减可得数列{an}的奇数项以3为首项，2为公差的等差数列，可得an，再将n换为n﹣1，相减可得bn；‎ ‎（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得Sn，解不等式可得所求集合．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）a1＝3，当n≥2时，an﹣1+an＝4n，‎ 可得a1+a2＝8，即有a2＝5，a2+a3＝12，即有a3＝7，‎ 由n≥3时，an﹣2+an﹣1＝4n﹣4，又an﹣1+an＝4n，‎ 相减可得an﹣an﹣2＝4，‎ 可得数列{an}的奇数项以3为首项，4为公差的等差数列，偶数项以5为首项，4为公差的等差数列，‎ 则数列{an}以3为首项，2为公差的等差数列，‎ 可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；‎ 当n＝1时，b1＝a1＝3；‎ n≥2时，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，又．‎ 相减可得2n﹣1bn＝n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1）＝4n﹣1，‎ 则bn＝（4n﹣1）•（）n﹣1；‎ ‎（2）前n项和为Sn＝3•1+7•11•（4n﹣1）•（）n﹣1，‎ Sn＝3•7•11•（4n﹣1）•（）n，‎ 相减可得Sn＝3+4（（）n﹣1）﹣（4n﹣1）•（）n ‎＝3+4•（4n﹣1）•（）n，‎ 化简可得Sn＝14﹣（4n+7）•（）n﹣1．‎ ‎13＜Sn＜14，即为13＜14﹣（4n+7）•（）n﹣1＜14，‎ 可得4n﹣7＜2n﹣1，‎ 则n＝1，2，上式成立；n＝3，4，上式不成立；‎ n≥5且n∈N，上式均成立，‎ 则所求n的集合为{n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．‎ ‎【答案】（1）;（2）详见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当焦点不确定在哪个轴时，可以分别讨论在轴时，，代入点，当在轴时，代入点解或，成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式，代入三点的坐标解方程组；‎ ‎（2）直线方程与椭圆方程联立，设，，由根与系数的关系得到和设直线的方程，直线的方程为后有三种方法，法一，当时计算交点的纵坐标，并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等，法二是联立直线与的方程，消去后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4，法三类似于法二，只是先通过根与系数的关系先消去，得到与的关系，然后再联立两个方程得到交点横坐标为4．‎ 试题解析：（1）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），‎ 则，又点在椭圆上，得．解得．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ 当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），‎ 则，又点在椭圆上，得．‎ 解得，这与矛盾．‎ 综上可知，椭圆的方程为． ‎ 解法二：设椭圆方程为（），‎ 将、、代入椭圆的方程，得 解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得， ‎ 设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ‎ 直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，‎ 同理可求得直线与直线的交点坐标为． ‎ 下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 因此结论成立．‎ 综上可知，直线与直线的交点在直线上． ‎ 证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，‎ 得， ‎ 设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ‎ 直线的方程为：，即．‎ 直线的方程为：，即． ‎ 由直线与直线的方程消去，得 ‎ ．‎ ‎∴直线与直线的交点在直线上． ‎ 证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，‎ 得， ‎ 设直线与椭圆的交点，，‎ 由根与系数的关系，得，． ‎ 消去得，． ‎ 直线的方程为：，即．‎ 直线的方程为：，即．‎ 由直线与直线的方程消去得，‎ ‎．‎ ‎∴直线与直线的交点在直线上．‎ ‎【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎