江苏理科数学高考试题含解析

江苏理科数学高考试题含解析

‎2016年江苏数学高考试题 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。‎ 圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。‎ 一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合则________▲________. ‎ ‎2.复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. ‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________. ‎ ‎4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. ‎ ‎5.函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .‎ ‎7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .‎ ‎9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎(第10题)‎ ‎11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，其中若，则f（‎5a）的值是 ▲ .‎ ‎12. 已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是 ▲ . ‎ ‎13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是 ▲ . ‎ ‎14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ . ‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. ‎ 若则仓库的容积是多少？‎ (1) 若正四棱柱的侧棱长为‎6m,则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)‎ (1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；‎ (2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；‎ (3) 设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ （1） 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ② 若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值。‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ 求数列的通项公式；‎ (1) 对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.‎ B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）‎ 已知矩阵矩阵B的逆矩阵，求矩阵AB.‎ C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ D.设a＞0，|x-1|＜，|y-2|＜，求证：|2x+y-4|＜a.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证：‎ ‎（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.‎ 参考版解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ‎ 已知集合，，则 ．‎ ‎；‎ i. 由交集的定义可得．‎ 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．‎ ‎5；‎ ii. 由复数乘法可得，则则的实部是5．‎ 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．‎ ‎；‎ iii. ‎，因此焦距为．‎ 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．‎ ‎；‎ iv. ‎，．‎ 函数的定义域是 ．‎ ‎；‎ v. ‎，解得，因此定义域为．‎ 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ．‎ ‎9；‎ i. 的变化如下表：‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎5‎ 则输出时．‎ 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．‎ ‎；‎ ii. 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．‎ 已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．‎ ‎；‎ iii. 设公差为，则由题意可得，， 解得，，则．‎ 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．‎ ‎7；‎ iv. 画出函数图象草图，共7个交点．‎ 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．‎ ‎；‎ i. 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，， 由可得，，， 则，由可得，则．‎ 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 ．‎ ‎；‎ ii. 由题意得，， 由可得，则， 则．‎ 已知实数满足 则的取值范围是 ．‎ ‎；‎ i. 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则， 图中点距离原点最远，点为与交点，则， 则．‎ 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，， 则的值是 ．‎ ‎；‎ ii. 令，，则，，， 则，，，，，， 则，，， 由，可得，，因此， 因此．‎ 在锐角三角形中，，则的最小值是 ．‎ ‎8；‎ i. 由，， 可得（*）， 由三角形为锐角三角形，则， 在（*）式两侧同时除以可得， 又(#)， 则， 由可得，‎ 令，由为锐角可得，‎ 由(#)得，解得 ‎， ，由则，因此最小值为， 当且仅当时取到等号，此时，， 解得（或互换），此时均为锐角．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（本小题满分14分）‎ 在中，，，． ⑴ 求的长； ⑵ 求的值．‎ ⑴；⑵ ．‎ 1. ‎，为三角形的内角 ‎，即：；‎ a) 又为三角形的内角 ‎．‎ ‎（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上， 且，．‎ 求证：⑴ 直线平面；‎ ⑵ 平面平面．‎ 见解析；‎ 2. 为中点，为的中位线 又为棱柱，‎ ‎，又平面，且 平面；‎ a) 为直棱柱，平面 ‎，又 且，平面 平面，‎ 又，平面 又平面，‎ 又，，且平面 平面，又 平面平面．‎ ‎（本小题满分14分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． ⑴ 若，，则仓库的容积是多少； ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？‎ ⑴；⑵；‎ 1. ‎，则， ，， ， 故仓库的容积为；‎ a) 设，仓库的容积为 ‎ 则，，， ， ， ， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，‎ 因此，当时，取到最大值， 即时，仓库的容积最大．‎ ‎（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： 及其上一点． ⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； ⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ ⑴⑵或⑶；‎ 1. 因为在直线上，设，因为与轴相切， 则圆为， 又圆与圆外切，圆：， 则，解得，即圆的标准方程为；‎ a) 由题意得， 设，则圆心到直线的距离, 则，，即， 解得或，即：或；‎ i. ‎，即，即， ， 又, 即，解得， 对于任意，欲使， 此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为， 必然与圆交于两点，此时，即， 因此对于任意，均满足题意， 综上 ‎．‎ ‎（本小题满分14分） 已知函数． ⑴ 设，． ① 求方程的根； ② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； ⑵ 若，，函数有且只有1个零点，求的值．‎ ⑴ ①；②；⑵；‎ 1. ‎① ，由可得， 则，即，则，； ② 由题意得恒成立， 令，则由可得， 此时恒成立，即恒成立 ∵时，当且仅当时等号成立， 因此实数的最大值为．‎ ‎，， 由，可得，令，则递增，‎ 而，因此时， 因此时，，，则； 时，，，则； 则在递减，递增，因此最小值为， ① 若，时，，，则； ‎ ‎ logb2时，，，则； 因此且时，，因此在有零点， 且时，，因此在有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾； ② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为， 可得， 由， 因此， 因此，即，即， 因此，则．‎ ‎（本小题满分14分） 记．对数列（）和的子集，若，定义；‎ 若，定义．例如：时，．‎ 现设（）是公比为的等比数列，且当时，． ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 对任意正整数（），若，求证：； ⑶ 设，，，求证：．‎ ⑴；⑵⑶详见解析；‎ 1. 当时，，因此，从而，；‎ a) ‎；‎ i. 设，，则，，， ，因此原题就等价于证明． 由条件可知． ① 若，则，所以． ② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为， ‎ ‎ 若，则由第⑵小题，，矛盾． 因为，所以，所以， ，即． 综上所述，，因此．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，，为垂足，是中点． 求证：．‎ 详见解析；‎ i. 由可得， 由是中点可得， 则， 由可得， 由可得， 因此， 又可得．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵．‎ ‎；‎ ii. ‎，因此．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．‎ ‎；‎ i. 直线方程化为普通方程为， 椭圆方程化为普通方程为， 联立得，解得或， 因此．‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设，，，求证：．‎ 详见解析；‎ ii. 由可得， ．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线． ⑴ 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； ⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．‎ ‎ ①求证：线段上的中点坐标为；‎ ‎ ②求的取值范围．‎ ‎ ‎ ⑴；⑵①见解析；②‎ 1. ‎，与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为，‎ ‎；‎ a) ① 设点，‎ 则：，即，‎ 又关于直线对称，‎ 即，‎ 又中点一定在直线上 线段上的中点坐标为；‎ ② 中点坐标为 即 ‎，即关于有两个不等根 ‎，，．‎ ‎（本小题满分10分） ⑴ 求的值； ⑵ 设，，求证： ．‎ ⑴；⑵详见解析；‎ 1. ‎；‎ a) 对任意的， ① 当时，左边，右边，等式成立， ② 假设时命题成立， 即， 当时， 左边= ， 右边， 而， 因此， 因此左边=右边， 因此时命题也成立，‎ 综合①②可得命题对任意均成立．‎ 另解：因为，所以 左边 又由，知 ‎，‎ 所以，左边右边．‎