2011年数学理（辽宁）高考试题

2011年数学理（辽宁）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数学（供理科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）为正实数，为虚数单位，，则 ‎（A）2 （B） （C） （D）1‎ ‎（2）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则 ‎（A）M （B）N （C）I （D）‎ ‎（3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎（A） （B）1 （C） （D）‎ ‎（4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos‎2A=，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 ‎（A）8‎ ‎（B）5‎ ‎（C）3‎ ‎（D）2‎ ‎（7）设sin，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ‎（A）AC⊥SB ‎（B）AB∥平面SCD ‎（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 ‎（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ‎（9）设函数，则满足的x的取值范围是 ‎（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）‎ ‎（10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为 ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎（11）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ‎（A）（，1） （B）（，+） （C）（，） （D）（，+）‎ ‎（12）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 ‎（A） （B） （C） （D）1‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．‎ ‎（14）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.‎ ‎（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． ‎ ‎（16）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则 ．‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前n项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）设，证明：当时，；‎ ‎（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．‎ ‎（I）证明：CD//AB；‎ ‎（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数=|x-2|x-5|．‎ ‎（I）证明：≤≤3；‎ ‎（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ 参考答案 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎4．只给整数分数，选择题不给中间分.‎ 一、选择题 ‎1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 ‎13．2‎ ‎14．0.254‎ ‎15．‎ ‎16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎ （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ ‎ 所以 综上，数列 ………………12分 ‎18．解：‎ 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.‎ 则 所以 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ （II）依题意有B（1，0，1），‎ 设是平面PBC的法向量，则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量，则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎19．解：‎ ‎ （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 ‎ ………………4分 X的数学期望为 ‎ ………………6分 ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ ………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ ………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎21．解：‎ ‎ （I） ‎ ‎ （i）若单调增加.‎ ‎ （ii）若 且当 所以单调增加，在单调减少. ………………4分 ‎ （II）设函数则 当.‎ 故当， ………………8分 ‎（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，‎ 故，从而的最大值为 不妨设 由（II）得 从而 由（I）知， ………………12分 ‎22．解：‎ ‎ （I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.‎ 故∠ECD=∠EBA，‎ 所以CD//AB. …………5分 ‎ （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，‎ 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.‎ 所以∠AFG+∠GBA=180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆 …………10分 ‎23．解：‎ ‎ （I）C1是圆，C2是椭圆.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.‎ ‎ （II）C1，C2的普通方程分别为 ‎ 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 ‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此，‎ 四边形A‎1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A‎1A2B2B1的面积为 …………10分 ‎24．解：‎ ‎ （I）‎ ‎ 当 ‎ 所以 ………………5分 ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.‎ ‎ 综上，不等式 …………10分