2011年数学理(辽宁)高考试题

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2011年数学理(辽宁)高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数学(供理科考生使用)‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)为正实数,为虚数单位,,则 ‎(A)2 (B) (C) (D)1‎ ‎(2)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若,则 ‎(A)M (B)N (C)I (D)‎ ‎(3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎(A) (B)1 (C) (D)‎ ‎(4)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos‎2A=,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P是 ‎(A)8‎ ‎(B)5‎ ‎(C)3‎ ‎(D)2‎ ‎(7)设sin,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是 ‎(A)AC⊥SB ‎(B)AB∥平面SCD ‎(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 ‎(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ‎(9)设函数,则满足的x的取值范围是 ‎(A),2] (B)[0,2] (C)[1,+) (D)[0,+)‎ ‎(10)若,,均为单位向量,且,,则的最大值为 ‎(A) (B)1 (C) (D)2‎ ‎(11)函数的定义域为,,对任意,,则的解集为 ‎(A)(,1) (B)(,+) (C)(,) (D)(,+)‎ ‎(12)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎(13)已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为 .‎ ‎(14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.‎ ‎(15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 . ‎ ‎(16)已知函数=Atan(x+)(),y=的部分图像如下图,则 .‎ 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(II)求数列的前n项和.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.‎ ‎(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ;‎ ‎(II)求二面角Q—BP—C的余弦值.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.‎ ‎(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?‎ 附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.‎ ‎(I)设,求与的比值;‎ ‎(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)设,证明:当时,;‎ ‎(III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:(x0)<0.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.‎ ‎(I)证明:CD//AB;‎ ‎(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.‎ ‎(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;‎ ‎(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A‎1A2B2B1的面积.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数=|x-2|x-5|.‎ ‎(I)证明:≤≤3;‎ ‎(II)求不等式≥x2x+15的解集.‎ 参考答案 评分说明:‎ ‎1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎4.只给整数分数,选择题不给中间分.‎ 一、选择题 ‎1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 ‎13.2‎ ‎14.0.254‎ ‎15.‎ ‎16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎ (I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ (II)设数列,即,‎ 所以,当时,‎ ‎ ‎ 所以 综上,数列 ………………12分 ‎18.解:‎ 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).‎ 则 所以 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ (II)依题意有B(1,0,1),‎ 设是平面PBC的法向量,则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量,则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎19.解:‎ ‎ (I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且 即X的分布列为 ‎ ………………4分 X的数学期望为 ‎ ………………6分 ‎ (II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.‎ ‎20.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设 设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 ‎ ………………4分 当表示A,B的纵坐标,可知 ‎ ………………6分 ‎ (II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即 解得 因为 所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;‎ 当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎21.解:‎ ‎ (I) ‎ ‎ (i)若单调增加.‎ ‎ (ii)若 且当 所以单调增加,在单调减少. ………………4分 ‎ (II)设函数则 当.‎ 故当, ………………8分 ‎(III)由(I)可得,当的图像与x轴至多有一个交点,‎ 故,从而的最大值为 不妨设 由(II)得 从而 由(I)知, ………………12分 ‎22.解:‎ ‎ (I)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.‎ 因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.‎ 故∠ECD=∠EBA,‎ 所以CD//AB. …………5分 ‎ (II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.‎ 连结AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE,‎ 又CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.‎ 所以∠AFG+∠GBA=180°.‎ 故A,B,G,F四点共圆 …………10分 ‎23.解:‎ ‎ (I)C1是圆,C2是椭圆.‎ ‎ 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.‎ ‎ 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.‎ ‎ (II)C1,C2的普通方程分别为 ‎ 当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为 ‎ ‎ 当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x 轴对称,因此,‎ 四边形A‎1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A‎1A2B2B1的面积为 …………10分 ‎24.解:‎ ‎ (I)‎ ‎ 当 ‎ 所以 ………………5分 ‎ (II)由(I)可知,‎ ‎ 当的解集为空集;‎ ‎ 当;‎ ‎ 当.‎ ‎ 综上,不等式 …………10分
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