河南省鹤壁市高级中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题

河南省鹤壁市高级中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题

鹤壁高中 2018--2019 学年度下学期第二次段考数学试卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大 题共 17 小题，每小题 5 分，共 85 分) 1.已知 sin α＝3 5 ，则 cos 2α的值为 ( ) A．－24 25 B．－ 7 25 C． 7 25 D．24 25 2.已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，-4)，若 a∥b，则 a·b 等于 ( ) A．－10 B．－6 C．0 D．6 3.如图是为了求出满足 3 2 1000n n  的最小偶数 n ,那么在 和 两个空白框中, 可以分别填入 ( ) A. 1000A  和 1n n  B. 1000A  和 2n n  C. 1000A  和 1n n  D. 1000A  和 2n n  4.设 cos(α＋π)＝ 3 2 (π<α<3π 2 )，那么 sin(2π－α)的值为 ( ) A．1 2 B． 3 2 C．－ 3 2 D．－1 2 5.已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan 2α的值为 ( ) A．－4 7 B．4 7 C．1 8 D．－1 8 6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是  3 32 ,那么 这 个 正 三 棱 柱 的 体 积 是 ( ) A. 96 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3 7.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线 x＝π 3 对称的是 ( ) A．y＝sin       62 x B．y＝sin      6-2 x C．y＝sin      3-2 x D．y＝sin       62 x 8.两人相约 7 时至 8 时之间在某地会面,先到者等候另一人 20min,过时离去,则这两人会面的 概 率 为 ( ) A. 1 3 B. 5 9 C. 8 9 D. 7 10 9.若 cos α＝－4 5 ，α是第三象限的角，则 sin(α＋π 4 )等于 ( ) A．－7 2 10 B．7 2 10 C．－ 2 10 D． 2 10 10.若直线 : 2 0l kx y   与曲线 2: 1 ( 1) 1C y x    有两个不同的交点,则实数 k 的取值范 围 是 ( ) A. 4( ,2]3 B. 4( ,4)3 C. [ , ) ( , ]   4 42 23 3 D. ( , )4 3 11.若向量 a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直,其中 x∈R，则|a－b|等于 ( ) A．－2 或 0 B．2 5 C．2 或 2 5 D．2 或 10 12 ． 函 数 f(x) ＝ sin2       4 x － sin2      4- x 是 ( ) A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数 C．周期为 2π的偶函数 D．周期为 2π的奇函数 13.把函数 f(x)＝sin       32- x 的图象向右平移π 3 个单位可以得到函数 g(x)的图象，则 g      4  等于 ( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－1 D．1 14.若函数 ( )f x 和 ( )g x 都是 R 上的奇函数,且 ( ) ( ) ( ) 2F x af x bg x   在区间上 (0, ) 有 最 大 值 5 , 则 ( )F x 在 ( ,0) 上 ( ) A．有最小值 5 B．有最大值 5 C．有最小值 1 D．有最大值 3 15.已知向量 a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π 2 ，π 2 ]，则|a＋b|的取值范围是 ( ) A.[0， 2] B.[0， 2) C.[1,2] D.[ 2，2] 16.已知|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值 范围是( ) A. 0，π 6 B. π 3 ，π C. π 3 ，2π 3 D. π 6 ，π 17.函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tan θ等于 ( ) A. 3 3 B.－ 3 3 C. 3 D.－ 3 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 18.已知向量 a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，2)，若(a－c)⊥b 则 k＝________. 19.当 0≤x≤1 时，不等式 sinπx 2 ≥kx 成立，则实数 k 的取值范围是________． 20.已知函数    2 2log 2f x a x x a    的最小值为 8，且  , 1a n n  ， n N ，则 n __________． 21. 如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： ①AC→＋AF→＝2BC→； ②AD→＝2AB→＋2AF→； ③AC→·AD→＝AD→·AB→； ④(AD→·AF→)EF→＝AD→(AF→·EF→)． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共 4 小题，共 45 分) 22.（10 分）已知a b c  ，，是同一平面内的三个向量,其中 ），（ 21a . （1）若 52c ,且向量a c 与 平行,求 c 的坐标; （2）若 2 5b ,且 ba 2 与 ba 2 垂直,求 a 与b 的夹角 . 23.(11 分)已知向量 a＝(sin x，3 2 )，b＝(cos x，－1)． (1)当 a∥b 时，求 2cos2x－sin 2x 的值； (2)求 f(x)＝(a＋b)·b 在[－π 2 ，0]上的单调区间． 24.(12 分)已知函数 )0()6sin(3)(   bxxf ,且函数图象的对称中心到对称轴的最 小距离为 4  ,当     4,0 x 时, )(xf 的最大值为 1. (1)求函数 )(xf 的解析式. (2)将函数 )(xf 的图象向右平移 12  个单位长度得到函数 )(xg 的图象,若 3)(3-)(  xgmxg 在     3,0 x 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 25.(12 分)设动圆 P(圆心为 P)经过定点(0，2)，(t+2，0)，(t－2，0)三点，当 t 变化时，P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程. (2)过点(0，2)且不垂直于坐标轴的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，B 点关于 y 轴的对称点为 D， 试问：直线 AD 是否经过定点，若是，求出定点坐标；否则，说明理由. 鹤壁高中 2018--2019 学年度下学期第二次段考(数学答案） 一．选择题 1-5 CADAA 6-10 DBBAA 11-15DBDCD 16-17 BD 二．填空题 18．0 19．k≤1 20．5 21．①②④ 18.解析 ∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0， ∴k＝0. 19．k≤1 解析 设t＝ πx 2 ，0≤x≤1， 则x＝ 2t π，0≤t≤ π 2 ， 则sin t≥ 2k πt在 0≤t≤ π 2 上恒成立． 设y＝sin t，y＝ 2k πt，图象如图所示． 需y＝sin t在 π 2 上的图象在函数y＝ 2k πt的图象的上方，∴ 2k π· π 2 ≤1，∴k≤1. 21．①②④ 解析 在正六边形ABCDEF中， AC →＋ AF →＝ AC →＋ CD →＝ AD →＝2 BC →，①正确； 设正六边形的中心为O，则 2 AB →＋2 AF →＝2( AB →＋ AF →)＝2 AO →＝ AD →，②正确； 易知向量 AC →和 AB →在 AD →上的投影不相等，即 AD | ≠ AD | .∴ AC →· AD →≠ AD →· AB →，③不正确； ∵ AD →＝－2 EF →， ∴( AD →· AF →) EF →＝ AD →( AF →· EF →)⇔( AD →· AF →) EF →＝－2 EF →( AF →· EF →)⇔ AD →· AF →＝－2 AF →· EF → ⇔ AF →·( AD →＋2 EF →)＝0.∵ AD →＋2 EF →＝ AD →－ AD →＝0，∴ AF →·( AD →＋2 EF →)＝0 成立． 从而④正确． 三．解答题 22.解：（1） 设 由 和 可得: 或 , ∴ 或 （2）∵ , 即 ∴ , ∴ , 所以 ∵ . 23.解：(1)∵a∥b，∴ 3 2cos x＋sin x＝0， ∴tan x＝－ 3 2， 2cos2x－sin 2x＝ 2cos2x－2sin xcos x sin2x＋cos2x ＝ 2－2tan x 1＋tan2x ＝ 20 13. (2) f(x)＝(a＋b)·b＝ 2 2sin(2x＋ π 4 )． ∵－ π 2 ≤x≤0，∴－ 3π 4 ≤2x＋ π 4 ≤ π 4 ， 所以函数在 上单调递减；在 上单调递增. 24.【解析】(1)因为函数f(x)= sin +b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最 小距离为 ,所以 = ,可得T=π, 由 =π,可得ω=2, 所以f(x)= sin +b, 因为当x∈ 时,2x- ∈ , 由y=sinx在 上单调递增,可得当 2x- = ,即x= 时, 函数f(x)取得最大值f = sin +b, 所以 sin +b=1, 解得b=- , 所以f(x)= sin - . (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为: g(x)= sin - = sin - , 因为当x∈ 时, 2x- ∈ , g(x)= sin - ∈[-2,1], 所以g(x)-3∈[-5,-2],g(x)+3∈[1,4], 因为g(x)-3≤m≤g(x)+3 在x∈ 上恒成立,所以m∈[-2,1]. 25.详解：（1）设M(t+2,0)、N(t-2,0)、R(0,2)， 当t变化时，总有MN=4，故圆P被x轴截得的弦长为 4 设动圆P圆心为 ，半径为 依题意的： 化简整理得： 所以，点P的轨迹C的方程 (2)由对称性知，直线AD经过的定点在y轴上 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)，其中， ， 直线AD的方程为： 令x=0 并将 ， 代入，可解得AD的y截距：y0= x1x2 设直线l：y=kx+2，代入抛物线方程，可得：x2－4kx－8=0 所以x1x2=－8，此时y0=－2 故直线AD过定点(0,－2) 点睛：定点问题的常见解法： （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无 关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意，从而得到定点的坐标．