数学联赛模拟试卷（一）

数学联赛模拟试卷（一）

数学联赛模拟试卷（一）‎ 一、填空题 ‎1、在长方体 中, , 点 、、‎ 分别是棱 、 与 的中点, 那么四面体 的体积是 ‎ ‎2、 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 , 且 , 则 向量 .‎ ‎ ‎ ‎3、设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为.‎ ‎4、设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有 且仅有一个成立，则实数的取值范围是.‎ ‎5、 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = . ‎ ‎6、 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ‎7、已知函数的图象如图，则满足的 的取值范围为 ．‎ y ‎ ‎ x ‎1‎ O ‎（第9题）‎ ‎8、一条走廊宽 ‎2 m, 长 ‎8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 个 ‎9、 设 , 那么 的最小值是 ‎ ‎10、如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程 有 ‎ 二、解答题 ‎11、能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.‎ ‎（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.‎ ‎12、设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 ‎ ‎ 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , ‎ 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 ‎ Q＇‎ 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率. ‎ ‎13、 A、B为双曲线上的两个动点，满足。‎ ‎ （Ⅰ）求证：为定值；‎ ‎ （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.‎ ‎14、△中，，、分别是边上的高和中线，且．‎ 证明是直角．‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、 V ‎ ‎= .‎ 解：在 的延长线上取一点 ，使 . 易证，，平面 ‎． 故 ．而 ，G到平面 的距离为 ． 故填 ．‎ ‎2、（－，）解：设 , 则 , 所以 ‎ ‎.‎ 即 解得 因此，.‎ 故填 ．‎ ‎3、 an= 4n－2 ‎ ‎(n∈N*)‎ 解：由题意知 ， 即 . ……… ①‎ 由 得 , 从而 . ‎ 又由 ① 式得 , ……… ②‎ 于是有 ,‎ 整理得 . 因 , 故 ‎ ‎．‎ 所以数列 是以 为首项、 为公差的等差数列，其通项公式为 ，‎ 即 . 故填 N*)．‎ ‎4、 或 解：由得．由对于任何R成立，得 ‎，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数 的取值范围是 或 ．‎ ‎5、 3解 切割化弦，已知等式即，‎ ‎ 亦即，即=1，即. ‎ 所以，，故 ‎6、 或 ‎ .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、‎ 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.‎ ‎7、解： 因为 ，所以 ‎. 于是，由图象可知，，即 ，解得 ‎. 故x的取值范围为 ．‎ ‎8、解：铺第一列(两块地砖)有 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 、‎ 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 色．若铺 色，则有 种铺法；若不 铺 色，则有 种方法. 于是第二列上共有 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 种铺法．因此，共有 种铺法． ‎ ‎9、4 解：由 , 可知 ‎,‎ 所以， . ‎ ‎10、 7个 ‎ 解： 由 , 知方程的根为一正一负．‎ 设 ，则 , 即 .‎ 由于 N*， 所以 或 . 于是共有7组 符合 题意． ‎ 二、解答题 ‎11、 解（Ⅰ）不能. ‎ 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是 ‎36‎ ‎2‎ ‎24‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎6‎ ‎72‎ ‎4‎ ‎2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3=219·38不是立方数，故不能.‎ ‎（Ⅱ）可以. ‎ 如右表 表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ……20分 ‎12、 解： 如图, 设线段 的中点为 ．‎ 过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 、、, 则 ‎． ‎ 假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 ‎ ‎，‎ 所以，． ‎ 于是，， 故 ‎．‎ 若 (如图)，则 ‎. ‎ 当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, ． 故 为正三角形. ‎ 若 ，则由对称性得 ‎． ‎ 又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是 ‎， 直线 的斜率为 ．‎ ‎13、 证 （Ⅰ）设点A的坐标为，B的坐标为，则，‎ ‎，A在双曲线上，则.‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 由得，所以，.‎ ‎ 同理，，‎ 所以. ‎ ‎ （Ⅱ）由三角形面积公式，得，所以 ‎ ，即.‎ ‎ 即.‎ ‎ 于是，.‎ 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. ‎ ‎14、 解．如图，取中点，连、．则为中位线，所以，且．而，所以 ‎ ．…………①‎ 在直角△中，为斜边中点，所以，从而 ‎ ．…………②‎ 联合①、②得、、、四点共圆．‎ 所以，∴ ，即．‎