2013厦门1月份质检文数试卷
福建省厦门市
2013届高三上学期质量检查
数学（文）试题
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式：
柱体体积公式： 锥体体积公式：
V =Sh，其中S为底面面积，h为高． V=Sh,其中S为底面面积，h为高．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2，3}，则（A）∩B等于
A．{3} B．{l,2} C．{1,3} D．{l,2,3}
2．下列命题中，真命题是
A．R,sinx
b，则ac>bc D．若x>l且y>2，则x+y>3
3．已知平面向量a=（2－k，3），b=（2，4），a∥b，则实数k等于
A． B． C． D．
4．设变量x，y满足约束条件，则z=x－y的最大值为
A．0 B．2
C．3 D．4
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． 15
B． 24
C． 39
D． 48
6．已知F是抛物线y2 =4x的焦点，P是圆x2 +y2－8x－8y +31 =0上的动点，则|FP|的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
7．函数y=的图象是
8．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+ bx +c =0（a≠O，a，b, c∈Z）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
9．已知函数f(x）= 2sin（2x－），则下列判断正确的是
A．函数f(x）的最小正周期为
B．函数f(x）的图象关于（，0）对称
C．函数f(x）的图象关于直线x= 对称
D．将函数f(x）的图象向右平移个单位，得到函数y= 2sin2x的图象
10．函数f(x）满足：（i）x∈R，f(x+2）=f(x），（ ii）x∈[-1，1]，f(x）= -x2+1．
给出如下四个结论：
①函数f(x）在区间[1，2]单调递减；
②函数f(x）在点（）处的切线方程为4x +4y －5 =0；
③若数列{an}满足an=f(2n），则其前n项和Sn=n；
④若[f(x）]2 －2f(x）+a =0有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．
其中正确结论的个数是
A．l B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．sin75o cos75o的值是 。
12．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程是
。
13．已知函数f（x）=若f（-1）+f（a2）=1，则a= 。
14．若不等式5+m+对任意m∈（0，+）都成立，则K的最大值为 ．
15．平面直角坐标系下直线的方程为Ax +By+C=0（A2 +B2 ≠0），用类比的方法推测空间直角坐标系下平面的方程为 。
16．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB =6,MN =4,则·等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
17．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1 C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=BC=AA1=2，AC=2，E，F分别是A1B，BC的中点．
（I）证明：EF∥平面A AlClC；
（II）证明：AE⊥平面BEC。
18．（本小题满分12分）
已知x=-2是函数f（x）=（ax +1）ex的一个极值点．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[ -4，0]，求函数f（x）的单调区间及最大值．
19．（本小题满分12分）
已知数列{ an}的前n项和为Sn，满足2Sn +3 =3an（nN*），{bn}是等差数列，且b2 =a2，b4=a1 +4．
（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Tn。
20．（本小题满分13分）
已知锐角三角形ABC的三个内角为A，B，C，其对应边分别为a，b，c，b=2，向量m=（ cosB，cosC），n=（c－a，b），且m·n=acosB。
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范围．
21．（本小题满分13分）
某厂家研发甲、乙两种产品准备试产，经调研，生产甲产品需固定成本100万元，每生产一件产品，成本增加1万元，每件销售价格p（万元／件）与产量x（件）满足关系p= 25；乙产品的利润L（万元）与成本t（万元）的关系为L=现有资金200万元，所生产的产品都能销售出去，并且甲产品必须生产．
（I）要使甲产品的利润最大，应生产甲产品多少件；
（Ⅱ）若资金全部投入生产，如何分配对甲、乙的投资，能使厂家获得的利润最大？
22．（本小题满分14分）
已知A，B分别是椭圆C1:=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A,B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A,B的任意一点，a>b >0．
（I）若P（），Q（，1），求椭圆Cl的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1·k2+k3·k4为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．
