数学理卷·2018届河南省郑州市高三第一次质量检测（模拟）

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2018 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷 第Ⅰ卷 一、选择题：共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 的值是（ ） A. B. 或 1 C.2 或 D.2 3.下列说法正确的是（ ） A.“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B.“若 ，则 ”的逆命题为真命题 C. ，使 成立 D.“若 ，则 ”是真命题 4.在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 32，则 的系数为（ ） A.50 B.70 C.90 D.120 5.等比数列 中， ，前 3 项和为 ，则公比 的值是（ ） A.1 B. C.1 或 D. 或 6.若将函数 图象上的每一个点都向左平移 个单位，得到 的图象，若函数 是奇函数，则函数 的单调递增区间为（ ） A. B. { }1A x x= > { }2 16xB x= < =A B∩ (1,4) ( ,1)−∞ (4, )+∞ ( ,1) (4, )−∞ ∪ +∞ 2( 2) ( 1)z a a a i= − − + + i a 2− 2− 1− 1a > 2 1a > 1a > 2 1a ≤ 2 2am bm< a b< 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 03 4x x> 1sin 2 α ≠ 6 πα ≠ 3( )x x + 2x { }na 3 9a = 3 2 3 0 3S x dx= ∫ q 1 2 − 1 2 − 1− 1 2 − ( ) 3sin(2 )(0 )f x x ϕ ϕ π= + < < 3 π ( )y g x= ( )y g x= ( )y g x= [ , ]( )4 4k k k Z π ππ π− + ∈ 3[ , ]( )4 4k k k Z π ππ π+ + ∈ C. D. 7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 7，则判断框内 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.刍薨（ ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下 有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图 为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少 为（ ） A.24 B. C.64 D. 9.如图，在 中， 为线段 上靠近 的三等分点，点 在 上且 2[ , ]( )3 6k k k Z π ππ π− − ∈ 5[ , ]( )12 12k k k Z π ππ π− + ∈ m (30 42]， (30,42) (42,56] (42,56) chuhong 32 5 32 6 ABC△ N AC A P BN ，则实数 的值为（ ） A.1 B. C. D. 10.设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与 抛物线的准线相交于 ， ，则 与 的面积之比 （ ） A. B. C. D. 11.在 中，角 的对边分别为 ，且 ，若 的面积 为 ，则 的最小值为（ ） A.28 B.36 C.48 D.56 12.已知函数 ，实数 满足 ， ，则 （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分. 13.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 . 14.已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值 范围是 . 15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取 四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 . 16.已知双曲线 的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足 2 2=( )11 11AP m AB BC+ +   m 1 2 9 11 5 11 2 4y x= F ( 5,0)M A B C 3BF = BCF ACF BCF ACF S S =  3 4 4 5 5 6 6 7 ABC , ,A B C , ,a b c 2 cos 2c B a b= + ABC 3S c= ab 3 2( ) 9 29 30f x x x x= − + − ,a b ( ) 12f m = − ( ) 18f n = m n+ = ,x y 1, 4 0, 3 4 0, x x y x y ≥  + − ≤  − + ≤ 2z x y= − 2 , 1( ) ln( 1),1 2, x xf x x x  ≤=  − < ≤ ( ) 5f x mx≤ − m 2 2 2 2: 1x yC a b − = F F 为 ，交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于 12 月 4 日到 12 月 31 日在主城区实行车辆 限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有 200 名员工，为了了解员工 低碳出行的情况，统计了 12 月 5 日到 12 月 14 日共 10 天的低碳出行的人数，画出茎叶图如 下： （1）若甲单位数据的平均数是 122，求 ； （2）现从如图的数据中任取 4 天的数据（甲、乙两单位中各取 3 天），记其中甲、乙两单位 员工低碳出行人数不低于 130 人的天数为 ， ，令 ，求 的分布列和期望. 19.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 分别为线段 上的点，且 ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）若 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角. M N 7 3FM FN=  { }na n nS 2 5 25a a+ = 55nS = { }na 1 3 1n na b n = − { }nb n nT x 1 ζ 2 ζ 1 2=η ζ ζ+ η P ABC− PAB ⊥ ABC 6AB = 2 3BC = 2 6AC = ,D E ,AB BC 2AD DB= 2CE EB= PD AC⊥ PD ⊥ ABC PA ABC 4 π PAC PDE 20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与直 线 相切. （1）求椭圆 的离心率； （2）如图，过 作直线 与椭圆分别交于两点 ，若 的周长为 ，求 的最大值. 21.已知函数 ， 且 . （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，试判断函数 的零点个数. 22.在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 1 2F F 2 3 0ax by ab+ − = C 1F l ,P Q 2PQF 4 2 1 2F P F Q   1 1( ) lnf x x ax a = + − a R∈ 0a ≠ ( )f x 1[ , ]x ee ∈ ( ) (ln 1) xg x x e x m= − + − xOy l (1,0) α x C 2 8cos=1 cos θρ θ− （1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若 ，设直线 与曲线 交于 两点，求 的面积. 23.设函数 ， . （1）解不等式 ； （2）若 对任意的实数 恒成立，求 的取值范围. l C 4 πα = l C ,A B AOB ( ) 3f x x= + ( ) 2 1g x x= − ( ) ( )f x g x< 2 ( ) ( ) 4f x g x ax+ > + x a 2018 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C C B A B D D C A 二、填空题 13. -1; 14. 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（1） ，求得 （2） 18. 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 ， 解得 ； （2）随机变量 的所有取值有 0,1,2,3,4. 的分布列为： 0 1 2 3 4 50, ;2      12 ;35 .2 10 xy ±=    =+== =+=+ 551055 2552 135 152 daaS daaa .23,3 ,51 +=∴    = = nad a n ).23 1 13 1(3 1 )23)(13( 1 )13( 1 +−−=+−=−= nnnnnab n n ),23 1 2 1(3 1)23 1 13 1 8 1 5 1 5 1 2 1(3 1 21 +−=+−−++−+−=++= nnnbbbT nn  .)23(269 1 6 1 +=+−=∴ n n nTn 12210 141134132)120(126119115113107105 =++++++++++ x 8=x η ;45 7)0( 2 10 2 10 2 6 2 7 === CC CCp η ;225 91)1( 2 10 2 10 2 6 1 3 1 7 === CC CCCp η ;3 1)2( 2 10 2 10 1 4 1 6 1 3 1 7 2 4 2 7 2 6 2 3 =++== CC CCCCCCCCp η ;225 22)3( 2 10 2 10 2 4 1 3 1 7 1 4 1 6 2 3 =+== CC CCCCCCp η ;225 2)4( 2 10 2 10 2 4 2 3 === CC CCp η η∴ η P 45 7 225 91 3 1 225 22 225 2 19.（1）证明：连接 ，由题意知 ,则 , 又因为 ，所以 因为 ， 都在平面 内， 所以 平面 ； （2）由（1）知 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系 ， 且 与平面 所成的角为 ，有 ， 则 ∴ 因为 由（1）知 平面 ，∴ 平面 ∴ 为平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为 ，则 5 7 225 24225 2233 12225 91145 70)( =×+×+×+×+×=ηE DE ,2,4 == BDAD .90,222  =∠∴=+ ACBABBCAC .3 3 6 32cos ==∠ABC .8cos322212222 =∠××−+=∴ ABCCD .22=∴CD 222 ACADCD =+∴ ABCD ⊥ ABCPAB 平面平面 ⊥ ,, PDCDPABCD ⊥∴⊥ 平面 ACPD ⊥ CDAC , ABC ⊥PD ABC , ,PD CD AB D xyz− PA ABC 4 π 4=PD )4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0( PBCA − )4,4,0(),0,4,22(),0,2,22( −−==−= PAACCB ,//,2,2 ACDEEBCEDBAD ∴== ,BCAC ⊥ ⊥PD ABC CB ⊥ DEP )0,2,22(−=CB DEP PAC ( ), ,n x y z=    ⊥ ⊥ , , PAn ACn ∴ ，令 ，则 ， ∴ 为平面 的一个法向量. ∴ 故平面 与平面 的锐二面角的余弦值为 , 所以平面 与平面 的锐二面角为 20.解析：（1）由题意 ，即 所以 ， （2）因为三角形 的周长为 ，所以 由（1）知 ，椭圆方程为 ，且焦点 ， ①若直线 斜率不存在，则可得 轴，方程为 ， ，故 . ②若直线 斜率存在，设直线 的方程为 ， 由 消去 得 ， 设 ，则 则 代入韦达定理可得    =−− =+ 044 0422 zy yx 1=z 1,2 −== yx )1,1,2( −=n PAC .2 3 124 24,cos −= ⋅ −−>=< CBn PAC PDE 2 3 PAC PDE 30 c ba ab = + − 22 4 3 ).4)(()4(3 222222222 bababacba +−=+= 22 2ba = 2 2=∴e 2PQF∆ 24 ,2,244 =∴= aa 12 =b 12 2 2 =+ yx )0,1(),0,1( 21 FF − l l x⊥ )2 2,1(),2 2,1(,1 −−−−= QPx )2 2,2(),2 2,2( 22 −−=−= QFPF 2 7 22 =⋅ QFPF l l )1( += xky    =+ += 22 ),1( 22 yx xky y 0224)12( 2222 =−+++ kxkxk ),(),,( 2211 yxQyxP .12 22,12 4 2 2 212 2 21 + −=+−=+ k kxxk kxx ,)1)(1(),1(),1( 2121221122 yyxxyxyxQFPF +−−=−⋅−=⋅ .1))(1()1( 2 21 2 21 2 22 +++−++=⋅ kxxkxxkQFPF ,)12(2 9 2 7 12 171)12 4)(1(12 22)1( 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 +−=+ −=+++−−++ −+=⋅ kk kkk kkk kkQFPF 由 可 得 ， 结 合 当 不 存 在 时 的 情 况 ， 得 ， 所以 最大值是 . 21.解析：（1） 当 时， 恒成立，所以函数 是 上的单调递增函数； 当 时， ，得 ， ，得 ， 函数单调递增区间为 ，减区间为 综上所述，当 时，函数 增区间为 . 当 时，函数单调递增区间为 ，减区间为 （2）∵ ，函数 的零点， 即方程 的根. 令 ， 由 （ 1 ） 知 当 时 ， 在 递 减 ， 在 上 递 增 ， ∴ . ∴ 在 上恒成立. ∴ ， ∴ 在 上单调递增. ∴ ， 02 >k )2 7,1(22 −∈⋅ QFPF k ]2 7,1(22 −∈⋅ QFPF QFPF 22 ⋅ 2 7 )0(,1)( 2 >−=′ xax axxf 0a < 0)( >′ xf ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( ) 2 1 0axf x ax −′ = > 1x a > 01)( 2 <−=′ ax axxf ax 10 << ),1( +∞ a ).1,0( a 0a < ( )f x ( )0, .+∞ 0a > ),1( +∞ a ).1,0( a ],1[ eex ∈ mxexxg x −+−= )1(ln)( mxex x =+− )1(ln ( ) ( )ln 1 exh x x x= − + ( ) 1 ln 1 e 1.xh x xx  = + − +   ′ 1a = ( ) 1ln 1f x x x = + − )1,1[e [ ]1,e ( ) ( )1 0f x f≥ = 1 ln 1 0xx + − ≥ ],1[ eex ∈ ( ) 1 ln 1 e 1 0 1 0xh x xx  = + − + ≥ + >  ′  ( ) ( )ln 1 exh x x x= − + ],1[ eex ∈ ( ) 1 min 1 12 eh x h e ee  = = − +   exh =max)( 所以当 或 时，没有零点，当 时有一个零点. 22.(1)直线 的参数方程为： ， （2）当 时，直线 的参数方程为： 代入 可得 23.（本小题满分 10 分） 解： 1 12 em e e < − + em > 1 12 ee m ee − + ≤ ≤ l 1 cos ,(sin x t ty t α α = +  = 为参数）. 2 8cos sin θρ θ= 2sin 8cos ,ρ θ θ∴ = 2 2sin 8 cos ,ρ θ ρ θ∴ = 2 8 .y x=即 4 πα = l 21 ,2 ( 2 2 x t t y t  = +  = 为参数）, 2 8y x= 2 8 2 16 0,t t− − = 1 2, ,A B t t设 、 两点对应的参数分别为 则 1 1 8 2,t t+ = 1 2 16t t = − 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 8 3.AB t t t t t t∴ = − = + − = 21 sin ,4 2O AB d π= × =又点 到直线 的距离 1 1 28 3 2 6.2 2 2AOBS AB d∆∴ = × = × × = (1) 3 2 1 ,x x+ < −由已知，可得 2 23 2 1 .x x+ < −即 2 10 8 0,x x− − >则有：3 2 4.3x x∴ < − >或 2( , ) (4, ).3 −∞ − +∞故所求不等式的解集为： 4 5, 3, 1(2) ( ) 2 ( ) ( ) 2 3 2 1 7, 3 ,2 14 5, .2 x x h x f x g x x x x x x  − − ≤ − = + = + + − = − < <   + ≥ 由已知，设 3 4 5 4 , 4 9,x x ax ax x≤ − − − > + < − −当 时，只需 恒成立 即 4 9 93 0 4xx a x x − −≤ − < ∴ > = − − 恒成立. ,且无限趋近于 4， 综上， 的取值范围是 ,1,)94( max −>∴−−>∴ axa 13 7 4 , 3 02x ax ax− < < > + − <当 时，只需 恒成立 即 恒成立. .61,6 1, 032 1 033 ≤≤−∴    ≤ −≥∴    ≤− ≤−− aa a a a 只需 1 4 5 4 , 4 1.2x x ax ax x≥ + > + < +当 时，只需 恒成立 即 1 4 1 10, 42 xx a x x +≥ > ∴ < = + 恒成立. 414 >+ x .4≤∴a a ( 1,4].−