2019年高考数学练习题汇总附加题满分练2

2019年高考数学练习题汇总附加题满分练2

附加题满分练2‎ ‎1.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点.求证：直线PC经过点E.‎ 证明　连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°.‎ 因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，‎ 所以∠APE＝∠AOE＝45°.‎ 同理可得∠BPE＝45°，所以PE是∠APB的平分线.‎ 又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合.‎ 所以直线PC经过点E.‎ ‎2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C.设变换T1, T2对应的矩阵分别为M＝， N＝，求对△ABC依次实施变换T1, T2后所得图形的面积.‎ 解　依题意，依次实施变换T1, T2所对应的矩阵NM＝  ＝.‎ 则 ＝，  ＝，‎  ＝.‎ ‎∴A，B，C分别变为点A′，B′，C′.‎ ‎∴所得图形的面积为×6×4＝12.‎ ‎3.已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程.‎ 解　设M(x，y)，则 两式平方相加得x2＋y2＝2.‎ 又x＝sin，y＝sin， θ∈[0，π]，‎ 所以x∈[－1，]，y∈[－1，]. ‎ 所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈[－1，]).‎ ‎4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.‎ 证明　因为a>0，b>0，‎ 所以a2＋b2＋ab≥3＝3ab>0，‎ ab2＋a2b＋1≥3＝3ab>0，‎ 所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.‎ ‎5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.现由甲先投.‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.‎ 解　(1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i＝1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥.‎ 甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.‎ P(A1)＝，‎ P(A2)＝××＝，‎ P(A3)＝2×2×＝.‎ 所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为1,2,3.‎ 则P(X＝1)＝＋×＝，‎ P(X＝2)＝＋×××＝，‎ P(X＝3)＝2×2×1＝.‎ 即X的概率分布为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎6.设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).‎ ‎(1)当n＝3时，证明：＋＋≥a1＋a2＋a3；‎ ‎(2)当n＝4时，不等式＋＋＋≥a1＋a2＋a3＋a4也成立，请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1，a2，…，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.‎ 证明　(1)因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数，‎ 左—右＝＋＋≥＋＋＝0，‎ 所以原不等式＋＋≥a1＋a2＋a3成立.‎ ‎(2)归纳的不等式为：‎ ＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3). ‎ 记Fn＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋an)，‎ 当n＝3(n∈N*)时，由(1)知，不等式成立；‎ 假设当n＝k(k∈N*且k≥3)时，不等式成立，即 Fk＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak)≥0.‎ 则当n＝k＋1时，‎ Fk＋1＝＋＋…＋＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)‎ ‎＝Fk＋＋＋－－－ak＋1‎ ‎＝Fk＋ak－1ak＋ak＋1＋(ak＋1－ak)≥0＋a＋ak＋1＋(ak＋1－ak)＝(ak＋1－ak)，‎ 因为ak＋1≥ak，＋≥2，≤＝2，‎ 所以Fk＋1≥0，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式成立.‎ 综上所述，不等式＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3)成立.‎