2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(五)
高考模拟试卷(五)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x||x|≥3}，N＝{y∈Z|y2≤16}，那么(∁RM)∩N等于( )
A．[－3,3]
B．(－3,3)
C．{－3，－2，－1,0,1,2,3}
D．{x|－3
1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则实数m的取值范围是( )
A．(1,1＋)
B．(1＋，＋∞)
C．(1，)
D．(3，＋∞)
答案 A
解析 因为m>1，所以可行域是以，，(0,0)为顶点的三角形区域，如图(阴影部分，含边界)，令x＋my＝0，得y＝－x，所以当目标函数经过点A时，取得最大值，所以＋<2，所以m2－2m－1<0，解得1－1，所以1b1>0)的离心率为，双曲线－＝1(a2>0，b2>0)与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2＝60°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 A
解析 设焦距为2c，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，点M在双曲线的右支上，则由双曲线和椭圆定义可得|MF1|－|MF2|＝2a2，|MF1|＋|MF2|＝2a1，解得|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.又∠F1MF2＝60°，则由余弦定理可得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos 60°＝4c2，则2(a＋a)－(a－a)＝4c2，即a＋3a＝4c2，又＝，则a＝2c2，所以a＝c2，所以b＝c2－a＝c2，则渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
9．从1,2,3，…，9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则使函数f(x)满足∈Z的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为要使f(1)＝a＋b＋c为偶数，则a，b，c取三偶或二奇一偶，所以所求概率为＝，故选A.
10．已知正四面体ABCD的棱CD在平面α上，E为棱BC的中点，当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面α所成最大角的正弦值为( )
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 取BD的中点F，则EF∥CD，所以直线AE与平面α所成的角即为AE与经过EF且平行于α的平面β所成的角，所以问题转化为求直线AE与绕EF旋转的平面β所成的最大角的正弦值，当平面β⊥平面AEF时，AE与β所成的角最大，最大角即∠AEF，设正四面体棱长为2，在△AEF中不难求得sin∠AEF＝，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．已知抛物线y2＝2px过点P(2,4)，则p＝__________；准线方程为________．
答案 4 x＝－2
解析 因为16＝4p，解得p＝4，
所以准线方程为x＝－＝－2.
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1(n∈N*)，则a1＝________；数列{an}的通项公式为an＝________.
答案 2
解析 由题意得a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n－1)－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，而a1＝2≠3，所以an＝
13．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________．
答案 24 25π
解析 由三视图得该几何体是一个底面是对角线长为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4××3＝24.又直四棱柱的外接球的半径为R＝＝，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝25π.
14．某生在参加铅球、铁饼、标枪三项运动的考核中，获得“优秀”级的概率分别为，，，且三项运动是否获得“优秀”级相互独立．记X为该生获得“优秀”级的运动项目数，
分布列如下表，则y＝________，期望E(X)＝________.
X
0
1
2
3
P
x
y
答案
解析 因为x＝××＋××＋××＝，y＝1－－－＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
15．已知sin(3π－θ)＝sin(θ∈R)，则cos＝________.
答案 ±
解析 由已知条件得sin θ＝cos θ，
解得cos θ＝，sin θ＝或cos θ＝－，sin θ＝－，
则cos＝cos θ＋sin θ＝±.
16．已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
答案 55
解析 因为x，y为正实数，所以由xy＋2x＋3y＝42，
得y＝>0，所以0n>0，求证：ln m－ln n>.
(1)解 f′(x)＝－＝＝，
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2a－2≤x＋在(0，＋∞)上恒成立，
因为当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，
所以2a－2≤2，解得a≤2.即a的取值范围为(－∞，2]．
(2)证明 要证ln m－ln n>，
只需证ln >，
即证ln －>0，
设h(x)＝ln x－，x>1，
由(1)可知h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因为>1，所以h>h(1)＝0，
即ln －>0，
所以原不等式成立．
21．(15分)如图，已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的长轴长为4，焦距为2，以A为圆心的圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)与椭圆相交于B，C两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求·的取值范围；
(3)设P是椭圆C上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求S△POM·S△PON的最大值．
解 (1)由题意知a＝2，c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
且＋y＝1，又A(2,0)，
所以·＝(x0－2)2－y＝(x0－2)2－＝x－4x0＋3＝2－，
因为－2
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