数学卷·2018届山东省淄博市桓台二中高二上学期12月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届山东省淄博市桓台二中高二上学期12月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、第Ⅰ卷为选择题，共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号．不能直接写在本试卷上．‎ ‎1．集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有（　　）‎ A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ ‎5．设函数，若f（4）=f（0），f（2）=2，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，则sin2x的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（　　）‎ A．16 B．8 C． D．4‎ ‎10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜2‎ ‎11．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）‎ A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0‎ C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+‎ ‎2的倾斜角α=　　．‎ ‎14．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为　　cm2．‎ ‎15．已知函数f（x）=x2﹣m是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则f（m）=　　．‎ ‎16．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，写出文字说明、演算步骤）‎ ‎17．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．‎ ‎（1）求实数k，a的值；‎ ‎（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．‎ ‎19．由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ 支持 保留 不支持 ‎20岁以下 ‎800‎ ‎450‎ ‎200‎ ‎20岁以上（含20岁）‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎300‎ ‎（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；‎ ‎（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率．‎ ‎20．如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE=DE；‎ ‎（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．‎ ‎21．已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若an2=，设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎22．某工厂某种产品的年固定成品为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年常量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年常量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 ‎（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年常量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、第Ⅰ卷为选择题，共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号．不能直接写在本试卷上．‎ ‎1．集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】解一元二次不等式可得集合M，进而根据集合包含的定义，可构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3）‎ N={x|x＞a}，‎ 若N={x|x＞a}，则﹣1≥a 即a≤﹣1‎ 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]‎ 故选C ‎　‎ ‎2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．‎ ‎【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，‎ 在两条为长方体的两条对角线，‎ 它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，‎ 另一条为体对角线，‎ 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，‎ 对照各图，只有D符合．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．‎ ‎【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．‎ ‎【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°‎ ‎∴||=1，||=1，‎ ‎=cos60°‎ ‎∴||===‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有（　　）‎ A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】‎ 先由面面垂直的判定定理证明面面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直即可选出正确选项 ‎【解答】解：由m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，‎ 又∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．设函数，若f（4）=f（0），f（2）=2，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式，因为f（4）=f（0），f（2）=2，代入求得b与c，可以代入函数g（x）=f（x）﹣x=0，可以求出零点，从而求解；‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴f（4）=f（0），f（2）=2，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 若x≥0，则x2﹣4x+6=x，‎ ‎∴x=2，或x=3；‎ 若x＜0，则x=1舍去，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值，求出值．‎ ‎【解答】解：由条件知，log3（log2x）=1，‎ ‎∴log2x=3，‎ ‎∴x=8，‎ ‎∴x=‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知，则sin2x的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二倍角的正弦．‎ ‎【分析】根据倍角公式cos2（﹣x）=2cos2（﹣x）﹣1，根据诱导公式得sin2x=cos（﹣2x）得出答案．‎ ‎【解答】解：∵cos2（﹣x）=2cos2（﹣x）﹣1=﹣，‎ ‎∴cos（﹣2x）=﹣即sin2x=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+‎ ‎1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．‎ ‎【解答】解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，‎ 打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；‎ 打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；‎ 打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；‎ 不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（　　）‎ A．16 B．8 C． D．4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，知a4•a14=（2）2=8，故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．‎ ‎【解答】解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，‎ ‎∴a4•a14=（2）2=8，‎ ‎∴a7•a11=8，‎ ‎∵a7＞0，a11＞0，‎ ‎∴2a7+a11≥2=2=8．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜2‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式即 （x﹣a）（﹣x）＜1，即 x2﹣ax+1＞0恒成立，故有△=a2﹣4＜0，由此解得不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式（x﹣a）⊗（x+1）＜1，即 （x﹣a）（﹣x）＜1，即 x2﹣ax+1＞0恒成立，‎ 故有△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）‎ ‎∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==‎ 弦长|EF|=‎ 原点到直线的距离d=‎ ‎∴△EOF的面积为 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）‎ A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0‎ C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】构造函数设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x1，x2．利用函数与导数知识求解．‎ ‎【解答】解：设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．‎ 由F'（x）=0得x=0或．这样，必须且只须F（0）=0或，‎ 因为F（0）=1，故必有由此得．不妨设x1＜x2，则．所以，‎ 比较系数得，故.，‎ 由此知，‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+2的倾斜角α=　　．‎ ‎【考点】圆的一般方程；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用圆的一般式方程，当圆的面积的最大值时，求出半径，以及k的值，然后求解直线的倾斜角．‎ ‎【解答】解：，当有最大半径时有最大面积，此时k=0，r=1，‎ ‎∴直线方程为y=﹣x+2，‎ 设倾斜角为α，则由tanα=﹣1且α∈[0，π）‎ 得．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为　　cm2．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．‎ ‎【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．‎ 根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，‎ ‎∴S△VAB=×AB×h=××=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=x2﹣m是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则f（m）=　﹣1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m2﹣m=3+m，求出m的值，代入条件检验可得结论．‎ ‎【解答】解：由已知必有m2﹣m=3+m，即m2﹣2m﹣3=0，∴m=3，或m=﹣1；‎ 当m=3时，函数即f（x）=x﹣1，而x∈[﹣6，6]，∴f（x）在x=0处无意义，故舍去．‎ 当m=﹣1时，函数即f（x）=x3，此时x∈[﹣2，2]，∴f（m）=f（﹣1）=（﹣1）3=﹣1．‎ 综上可得，f（m）=﹣1，‎ 故答案为﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=　　．‎ ‎【考点】余弦定理；平行向量与共线向量．‎ ‎【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C的正切值，得到C的值即可．‎ ‎【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），则S=（a2+b2﹣c2）．‎ 由余弦定理得cosC=，所以S=‎ 又由三角形的面积公式得S=，所以，‎ 所以tanC=．又C∈（0，π），‎ 所以C=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，写出文字说明、演算步骤）‎ ‎17．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．‎ ‎（1）求实数k，a的值；‎ ‎（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】（1）由函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），分别代入函数解析式，构造关于k，a的方程组，解方程组可得实数k，a的值；‎ ‎（2）由（1）求出函数 的解析式，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．‎ ‎∴k=1，且k•a﹣3=8‎ 解得k=1，a=‎ ‎（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：‎ 由（1）得f（x）=﹣x=2x，‎ ‎∴函数=‎ 则g（﹣x）===﹣=﹣g（x）‎ ‎∴函数g（x）为奇函数 ‎　‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求的值；‎ ‎（Ⅱ）直接利用正弦函数的周期的求法，以及三角函数的单调性直接求函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为=2cos2x+sin2x…‎ ‎=1+cos2x+sin2x…‎ ‎=…‎ 所以…‎ ‎（Ⅱ）因为 所以…‎ 又y=sinx的单调递减区间为，（k∈Z）…‎ 所以令…‎ 解得…‎ 所以函数f（x）的单调减区间为，（k∈Z）…‎ ‎　‎ ‎19．由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ 支持 保留 不支持 ‎20岁以下 ‎800‎ ‎450‎ ‎200‎ ‎20岁以上（含20岁）‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎300‎ ‎（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；‎ ‎（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．‎ ‎【分析】（I）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，写出比例式，使得比例相等，得到关于n的方程，解方程即可．‎ ‎（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有事件的事件数，再列举出满足条件的事件数，得到概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，‎ 所以n=100‎ ‎（Ⅱ）设所选取的人中，有m人20岁以下，则，解得m=2‎ 也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2‎ ‎，B3，‎ 则从中任取2人的所有基本事件为 （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个．‎ 其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）‎ ‎∴从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为 ‎　‎ ‎20．如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE=DE；‎ ‎（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；‎ ‎（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；‎ 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．‎ ‎【解答】证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，‎ 又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，‎ 所以BD⊥平面OCE．‎ 所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以BE=DE．‎ ‎（II）证法一：‎ 取AB中点N，连接MN，DN，‎ ‎∵M是AE的中点，‎ ‎∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，‎ ‎∴MN∥平面BEC，‎ ‎∵△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∴ND∥BC，‎ 又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，‎ ‎∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，‎ ‎∴DM∥平面BEC 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，‎ ‎∵CB=CD，∠BCD=120°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∵△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，‎ ‎∴AB=AF，‎ 又AB=AD，‎ ‎∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，‎ ‎∴DM∥平面BEC ‎　‎ ‎21．已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若an2=，设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知，当n=1时，得a1=；当n≥2时，，两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由，知bn=4﹣2n，故，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，…‎ 当n=1时，2a1=a1+，解得a1=，‎ 当n≥2时，，‎ 两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1…‎ 整理得：…‎ ‎∴数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎∴．…‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎∴bn=4﹣2n，…‎ ‎∴…①‎ ‎…②‎ ‎①﹣②得…‎ ‎=．…‎ ‎∴．…‎ ‎　‎ ‎22．某工厂某种产品的年固定成品为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年常量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年常量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 ‎（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年常量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；‎ ‎（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，‎ ‎∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，‎ ‎①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，‎ ‎∴=；‎ ‎②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，‎ ‎∴=．‎ 综合①②可得，．‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ ‎①当0＜x＜80时， =，‎ ‎∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；‎ ‎②当x≥80时， =1200﹣200=1000，‎ 当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．‎ 综合①②，由于950＜1000，‎ ‎∴‎ 当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日