2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期末质量检测数学（理）试题 word版

2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二上学期期末质量检测数学（理）试题 word版

宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期末质量检测 高二数学（理科）试题 ‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若、是两个简单命题，“且”的是真命题，则必有 A．假假 B．真真 C．真假 D．假真 ‎2. 已知，给出命题：“，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．0个　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 ‎3．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“”a是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.过两点的直线的倾斜角为，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6.直三棱柱中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.椭圆的焦距是2，则的值是（ ）‎ A．9 B．12或4 C．9或7 D．20‎ ‎8.下列双曲线中离心率为的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线AC与MN所成的角为 (　)‎ A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．90°‎ 10. 若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图是某个几何体的三视图，小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A.8 B.4 C. D.‎ ‎12. 已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为（ ）‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.全称命题“”的否定是___________‎ ‎14.直线与圆相交弦的长度为___________‎ ‎15.已知直三棱柱,,,其外接球体积为_____________‎ ‎16.下列说法：‎ ‎（1）设是正实数，则是的充要条件；‎ ‎（2）对于实数，如果，则；‎ ‎（3）是直线与直线相互垂直的充分不必要条件；‎ ‎（4）等比数列的公比为，则且是对任意,都有的充分不必要条件；‎ 其中正确的命题有_________‎ 三、解答题 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ‎ 17. ‎（本小题满分10分）设命题：函数的定义域为；命题：函数在上单调递减．‎ ‎（Ⅰ）命题为真命题时，求的值; （Ⅱ）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；‎ ‎ 18.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD 交于点O,PA底面ABCD，E为PB的中点． ​求证：（Ⅰ）平面；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎ 19.（本小题满分12分）已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点 ‎（Ⅰ）若弦AB的中点为，求弦AB的直线方程;‎ ‎（Ⅱ）设，若，求证AB过定点.‎ ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且通径长为3，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆交于M、N两点（N点在x轴上方），且,求直线MN的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，，．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD， ‎ ‎（Ⅰ）证明：PB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.‎ 图2‎ 图1‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C的一个焦点为，且过点. 如图，为双曲线的左、右焦点，动点 （）在 的右支上，且的平分线与 轴、 轴分别交于点 （＜＜）、，设过点 的直线 与交于 两点. ‎ ‎（Ⅰ）求 C 的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求△的面积最大值．‎ 参考答案 ‎1.【答案】B ‎2.【答案】D ‎3.【答案】A ‎4.【答案】B ‎5.【答案】C ‎6.【答案】D ‎7.【答案】C ‎8.【答案】B ‎9.【答案】C ‎10.【答案】 A ‎ ‎11.【答案】 D ‎ ‎【解析】本题考查了由三视图还原直观图.‎ 由三视图还原后的图形如下：‎ ‎ ‎ ‎ 即为三棱锥D-ABC的体积 ‎ ‎ ‎12.【答案】D ‎【考查角度】本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养.‎ ‎【解题分析】因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，故选D.‎ 13. ‎【答案】‎ ‎14.【答案】　‎ ‎15.【答案】‎ ‎【分析】已知三角形为等腰三角形，由余弦定理求得，再有正弦定理,（为三角形外接圆半径），,又因为，设球心为，,所以球的体积为 ‎16.【答案】（3）（4）【解析】本题考查了命题和充分必要条件的判定，属于简单题 对于（1）求得，所以是的充分不必要条件，所以错误 对于（2）不成立，所以错误 对于（3）直线与直线相互垂直，或，所以正确 对于（4）且可以推出对任意,都有，反之不成立，如数列，所以正确 ‎17.解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R ∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立， ∴△=a2-4＜0，解得：-2＜a＜2， …………………………4分 ‎(2)若q真，则a≥1， ∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真 ∵或，解得：-2＜a＜1或a≥2． …………………………10分 ‎18.【解析】∵底面ABCD是菱形， ∴O是AC的中点， 又因为E是PB的中点， ∴OE∥PD， 又因为OE平面ACE，PD不在平面PCD上, ∴PD∥平面ACE；………………6分 ‎ （2）证明：∵底面ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD， ∴BD⊥平面ACE， ∴BD⊥AE． …………………………………………………12分 ‎19.【解答】解：​（1）因为抛物线的方程为，设，， 则有x1 ≠x2 ， ，， 因为弦AB 的中点为(3,3)， 两式相减得， 所以，经验证符合题意． 所以直线l的方程为y-3=（x-3）,即y=x+1 ； （2）当AB斜率存在时，设AB方程为y=kx+b代入抛物线方程： ky2-4y+4b=0， ,， AB方程为y=kx-3k=k(x-3)，恒过定点（3,0）. 当AB斜率不存在时，，则x1=x2=3，过点(3,0). 综上，AB恒过定点（3,0）. ‎ ‎20.【解答】（Ⅰ）由题意得，所以，所以椭圆的标准方程是 4分 ‎ ‎（Ⅱ）由题意得，直线MN的方程斜率必须存在，设直线MN的方程为，代入椭圆方程得，则 ‎，所以，，故直线MN的方程为 ………（12分）‎ ‎21.‎ ‎【考查角度】本题以图形折叠为背景，考查空间线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质、空间中的线面角、二面角的平面角等知识，考查学生空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、直观想象和数学建模素养.‎ ‎【解题分析】 解：（1）证明：∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，‎ 又BD⊥DC，∴DC⊥平面PBD， ………………（2分）‎ ‎∵PB⊂平面PBD，∴DC⊥PB，‎ 又∵折叠前后均有PD⊥PB，DC∩PD=D，‎ ‎∴PB⊥平面PDC． ………………（4分）‎ ‎（2）由（1）知DC⊥平面PBD，即为线面角， ………………（5分）‎ 所以，解得， ………………（6分）‎ 又∵∽，∴，‎ 令即，解得，即 …………（7分）‎ 如图所示，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过点D垂直平面BCD为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 所以，，，‎ 设，‎ 则，，， ……（8分）‎ 设平面PCD的法向量为m， 则 ‎ 即，解得m ………（9分）‎ 设平面PCE的法向量为n，则，‎ 即，解得n ………（10分）∴‎ 整理得，解得，（不合题意，舍去） ………（11分）‎ 即E为BD的四等分点，且. ………（12分）‎ ‎22.本题以直线与双曲线的位置关系为背景，考查抛物线的标准方程、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式及二次函数的性质等知识，考查转化化归思想和运算求解能力，考查数学运算、数学抽象和数学建模素养.‎ ‎ 【解题分析】解：（1）知双曲线的左、右焦点分别为，‎ 又∵双曲线过点 ‎∴‎ 解得 ‎∴双曲线C的标准方程为. ………（4分）‎ ‎（或者待定系数法解题相应步骤给分）‎ ‎（2）由F1（﹣，0），F2（，0），‎ 得直线PF1方程为y=（x+），直线PF2方程为y=（x﹣），‎ 即直线PF1方程为y0x﹣（x0+）y+y0=0，‎ 直线PF2方程为y0x﹣（x0﹣）y﹣y0=0，‎ 由点M（m，0）在∠F1PF2的平分线上，得=，‎ 由﹣＜m＜，y0＞1，以及y02=x02﹣1，解得x0≥2，‎ ‎∴y02+（x0+）2=x02+2x0+4=（x0+2）2，‎ ‎∴=，解得m=，即 ………（7分）‎ ‎∴直线PM的方程为：y﹣（x﹣），‎ 令x=0，得y=﹣=﹣，故点N（0，﹣），‎ ‎∴，‎ 由，消去x得（5y02﹣4）y2+10y0y+1=0，‎ ‎△=100y02﹣4（5y02﹣4）=80y02+16＞0，‎ 设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=， ………（9分）‎ ‎∴|y1﹣y2|==，‎ 由y0≥1，y1+y2=﹣＜0，y1y2=＞0，‎ ‎∴y1＜0，y2＜0，△F2DE 的面积S=﹣=|F1F2|×|y1﹣y2|=×2×，‎ 设5y02﹣4= t，t≥1，则△F2DE 的面积S=4×=4×=4×，‎ ‎∴t=1时，即P为（2，1）时，△F2DE 的面积最大值为4． ………（12分）‎