数学（非4班）卷·2018届浙江省宁波市北仑中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学（非4班）卷·2018届浙江省宁波市北仑中学高二上学期期中考试（2016-11）

北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 ‎（除高二4班以外的其它所有班级）‎ 命题：贺幼龙 审题：莫芬利 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.‎ ‎1．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ▲ ）‎ A B ‎ C D ‎ ‎ 第1题图 ‎2．若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积 （ ▲ ）‎ A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的一半 C．不变 D．缩小到原来的 ‎3．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ▲ ）‎ ‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 第4题图 第5题图 ‎4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （ ▲ ）‎ A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ▲ ）‎ A．2＋　　　　　 　B. C. D．1＋ ‎7．下列四个命题中正确的命题有 （ ▲ ）‎ ‎①过空间任何一点可以作无数条直线与已知的异面直线都相交；‎ ‎②三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行；‎ ‎③直线，直线，则直线所成角与平面所成角相等或互补；‎ ‎④，，则或.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎8．如图，正方体的棱长为1,点在平面内，点是底面的中心.若平面，则在平面内的射影的面积为 （ ▲ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第8题图 第11题图 第12题图 二、填空题:本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.将正确答案填在答题卷的横线上.‎ ‎9．正方体的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ .‎ ‎10．将一个边长分别是2 cm和3 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其3 cm边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ，其体积为 ▲ cm3.‎ ‎11．如图，P是正方形ABCD外一点，且，则此几何体的5个面中互相垂直的面有 ▲ 对;若，则直线与平面所成角的正切值为 ▲ .‎ ‎12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体体积为 ▲ ，表面积为 ▲ .‎ ‎ 第13题图 第15题图 ‎13．如图，已知正三棱锥A—BCD侧面的顶角为45°，侧棱长为，动点E在侧棱AC上运动，则线段BE、ED长度和的最小值为 ▲ .‎ ‎14．某几何体的其中一条棱的长是，此棱在正视图，侧视图，俯视图的射影线段长分别是,则a,b所满足的等量关系式是 ▲ .‎ ‎15．如图，已知平面平面，是平面与的交线上的两个定点，，‎ ‎，且，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值为 ▲ ．‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本题满分14分）已知在底面边长为的正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成角的大小为60°．‎ ‎(1)求侧棱的长度；‎ ‎(2)求正四棱锥P－ABCD的外接球的表面积.‎ 第16题图 第17题图 ‎17.（本题满分15分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1=1,∠ABC＝90°. 点E、F分别是棱AB、BB1的中点.‎ ‎(1)求三棱锥B-AFC的体积；‎ ‎(2)求异面直线EF和BC1所成的角.‎ ‎ ‎ ‎18．（本题满分15分）如图1，平面四边形 ABCD关于直线对称，,‎ 把沿折 起(如图2)使二面角的余弦值 ‎ 为.对于图2‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)证明：平面;‎ ‎(3)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎ 第18题图 ‎ ‎ ‎19．（本题满分15分）如图，两矩形，所在平面互相垂直，与平面 ‎ ‎ 及平面所成角分别为，分别为的中点，且.‎ ‎ (1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎ 第19题图 第20题图 ‎ ‎ ‎20．（本题满分15分）如图，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面 ‎ ‎ 成的二面角，‎ ‎(1)求证：∥平面；‎ ‎(2)试问在线段上是否存在一点，使锐二面角的余弦值为.若存在，请求出CG的值；若不存在，请说明理由. ‎ 北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学参考答案 ‎（除高二4班以外的其它所有班级）‎ 一.选择题 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 答案 ‎ A ‎ B ‎ D ‎ D ‎ B ‎ A ‎ C B 二.填空题 ‎9._____6______ _______ 10.__圆台_____ _____‎ ‎ 11.______5_____ _______ 12.___ ____ ______ ‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 12 ‎ 三.解答题 ‎16.(本题满分14分)‎ ‎（1）2‎ ‎（2）‎ ‎17. (本题满分15分) ‎ ‎ ‎ ‎（1）1/12‎ ‎（2）‎ ‎18.(本题满分15分) ‎ 解：（Ⅰ）取的中点，连接，‎ 由，得：                                      ‎ 就是二面角的平面角， ‎ 在中，‎ ‎                                                   ‎ ‎（Ⅱ）由，‎ ‎ ‎ ‎，  又平面 ‎ ‎（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面 ‎∴平面平面平面平面，‎ 作交于，则平面，‎ 就是与平面所成的角 方法二：设点到平面的距离为，‎ ‎∵             ‎ ‎ 于是与平面所成角的正弦为  ．‎ ‎19. (本题满分15分)‎ ‎（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB， ∴EB⊥平面ABCD， 又MN∥EB，  ∴MN⊥面ABCD． ‎ ‎（2）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH， ∵AD⊥平面ABEF，BO 面ABEF， ∴BO⊥平面ADE， ∴OH为BH在平面ADE内的射影， ∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角， 在Rt△ABE中，BO= ， 在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH= ， ∴sin∠BHO= .‎ ‎20. (本题满分15分) ‎ 证明：（1）∵在矩形ABCD中BC∥AD，‎ AD⊂平面ADE BC⊄平面ADE，‎ ‎∴BC∥平面ADE，‎ 同理CF∥平面ADE，‎ 又∵BC∩CF=C，‎ ‎∴平面BCF∥平面ADE，‎ 而BF⊂平面BCF，‎ ‎∴BF∥平面ADE．‎ ‎（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE ‎∴∠ADE即为二面角A-CD-F的平面角，‎ ‎∴∠ADE=60°‎ 又∵AD∩DE=D，‎ ‎∴CD⊥平面ADE，‎ 又∵CD⊂平面CDEF ‎∴平面CDEF⊥平面ADE，‎ 作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．‎ 过O作于H,连接BH,易得是锐二面角的平面角 因为，易求得 取CF中点M,易知与相似，设（x>0），则，即，解得或（舍）‎ 因此存在符合题意的点G,使得CG=.‎