2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将抛物线的方程化成标准形式，再代入焦点坐标公式，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 将抛物线化为，则抛物线的，以轴为对称轴，开口向下，‎ ‎∴焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程及焦点坐标，考查运算求解能力，即可得答案.‎ ‎2．已知，，，，则下列结论中必然成立的是　　‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。‎ ‎【详解】‎ 解：．与的大小关系不确定；‎ ‎．取，，，，满足，，则不成立．‎ ‎．取，，不成立；‎ ‎．，，则，正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．设等差数列的前项和为，若则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的通项公式知，再由等差数列的前项和公式知，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前项和公式的合理运用．‎ ‎4．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将不等式表示为，得出，再解该不等式可得出解集.‎ ‎【详解】‎ 将原不等式表示为，解得，解该不等式可得或.‎ 因此，不等式的解集为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 ‎【答案】C ‎【解析】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．‎ ‎6．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.‎ ‎【考点】双曲线的渐近线方程 ‎7．在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角形的解有两个，可得，然后求出的范围．‎ ‎【详解】‎ 因为满足条件，的三角形的解有两个，‎ 所以，所以，‎ 所以的取值范围为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形中正弦定理的应用，考查运算能力，属基础题．‎ ‎8．已知函数，则该函数在上的值域是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可以得出，从而可得出在上单调递减，在，‎ 上单调递增，从而求出在，上的最小值为，并求出，的值，这样即可得出在，上的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 在上单调递减，在，上单调递增，‎ 是在，上的最小值，且，，‎ 在，上的值域为，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．‎ ‎9．已知数列，且，则数列前项的和等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中，利用裂项相消法，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 数列前100项的和.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是数列求和，熟练掌握裂项相消法是解答的关键．‎ ‎10．在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角 最大，可得．当轴或轴时，也满足题意．即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，‎ ‎，，，此时．这样的点P有两个；‎ 当轴或轴时，也满足题意．这样的点P有4个；‎ 因此△为直角三角形，则这样的点有6个．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上一点，且，则等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,可得⊥，‎ 双曲线的，‎ 左、右焦点分别为(−3,0),(3,0)，‎ 令x=3,,解得，‎ 即有，‎ 由双曲线的定义可得.‎ 故选A.‎ ‎12．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线 和距离之和的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．‎ 详解：由双曲线方程可得，‎ 双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．‎ ‎∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴双曲线的方程为，‎ ‎∴双曲线的焦点为．‎ 又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，‎ 设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，‎ ‎∴．‎ 结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离．‎ 故选B．‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：‎ ‎（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ 二、填空题 ‎13．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数等于______________‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 则有，得，‎ 因为 所以至少等于6，故答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的定义，等比数列的前项和公式，意在考查对基础知识的掌握情况以及运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.‎ ‎14．已知数列的前项和，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.‎ ‎【详解】‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 不适合上式，.‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15．如图所示，二面角为是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，则的长______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】推导出，两边平方可得的长．‎ ‎【详解】‎ 二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，‎ 且，，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的长．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎16．正四面体的棱长为2，半径为的球过点，为球的一条直径，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值，‎ 由题意可知：，则是以点D为顶点的直角三角形，且：‎ 当向量反向时，取得最小值：.‎ 三、解答题 ‎17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】（1）若为真，则命题和命题均为真命题，分别解两个不等式求交集即可；‎ ‎（2）是的充分不必要条件等价于是的必要不充分条件，列出满足题意的不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于：由，得：，‎ 又，所以，‎ 当时，，‎ 对于：等价于，解得：，‎ 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是：；‎ ‎（2）因为是的充分不必要条件，所以，且，即，‎ ‎，，则⫋，即，且，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题及其关系，考查理解能力和转化思想，属于常考题.‎ ‎18．在中，角，，所对的边分别是，，，且 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求，进而可求；‎ ‎（2）由余弦定理可得，，代入可求，由正弦定理可得，可求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由正弦定理得，‎ 化简得.‎ 因为在三角形中，，，‎ 可得.‎ 又因为，所以 ‎（2）由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．‎ ‎19．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点， ‎ 求证：（1）四点共面； ‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】（1）利用三角形中位线的性质，证明，从而可得，即可证明，，，四点共面；‎ ‎（2）证明平面中有两条直线、分别与平面中的两条直线、平行，即可得到平面平面．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)分别是的中点，‎ 是的中位线，‎ 则，‎ 又，‎ 四点共面．‎ ‎(2)分别为的中点，，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ 又分别是的中点，，‎ ‎，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ 又，‎ 平面平面，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．已知是数列的前项和，．等比数列中，公比为．‎ ‎（1）求数列和的通项公式，以及数列的前项和； ‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ，，；(2) .‎ ‎【解析】（1）根据递推关系，利用临差法求得的通项公式，并利用等比数列通项公式、前项和公式分别求，；‎ ‎（2）利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，， ‎ 当时，，‎ 又， ；‎ 由得 ，，‎ ‎∴ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差、等比数列的通项公式、等比数列前项和公式、错位相减法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意的通项公式要写成分段的形式.‎ ‎21．已知椭圆：过点和点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）（2）不存在 ‎【解析】（1）根据椭圆过点，代入即可求出，写出标准方程（2）假设存在,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN中点，根据知，利用垂直直线斜率之间的关系可求出，结合直线与椭圆相交的条件，可知不存在.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆：过点和点，‎ 所以，由，解得，所以椭圆：.‎ ‎（2）假设存在实数满足题设，‎ 由，得，‎ 因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，‎ 设的中点为，，分别为点，的横坐标，‎ 则，从而，所以，‎ 因为，所以，所以，而，所以，‎ 即，与矛盾，因此，不存在这样的实数，使得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，涉及根与系数的关系，中点，垂直直线斜率的关系，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，且经过点P，过它的左、右焦点分别作直线l1和12.l1交椭圆于A．两点，l2交椭圆于C,D两点， 且 ‎(1)求椭圆的标准方程.‎ ‎(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程;（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，求出此时四边形的面积；若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．求出 ‎，再利用基本不等式求S的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，所以，‎ 将点P的坐标代入椭圆方程得，‎ ‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，‎ 此时四边形的面积为，‎ 若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．‎ 直线的方程为，设，，联立，‎ 消去整理得，‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 同理得， ‎ 所以，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎(当且仅当t=1时取到等号)‎ 综上可知，四边形面积的.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系和面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎