数学理卷·2019届陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考（2018-04）
2017—2018学年度第一学期普集高中高二年级第一次月考
理科数学试题
（考试范围：北师大版必修五第一章；考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人： 审题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
[答案] C
[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.
2．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝2xsin x
解析： ∵′＝1－，∴A错．(log2x)′＝·＝，∴B正确．故选B.
答案： B
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析： 用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.
答案： B
4．函数y＝x＋e－x的增区间为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
解析： 由y′＝1－e－x＞0解得x＞0.
答案： B
5．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f(1)等于( )
A. B．1 C. D．－1
解析： ∵f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.
答案： C
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
解析： 由f′(x)的图像知：x＝0是f(x)的极小值点，
∴f(x)min＝f(0)＝c.
答案： D
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
[答案] D
[解析] 由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立．
8．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析： 由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.
答案： A
9．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝，则由n＝k到n＝k＋1时，等式左端应添加的项是( )
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C．[(k＋1)＋1]2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析： n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.
答案： D
10．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
[答案] B
[解析] 设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0
0，故选D.
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a0，
则af(b)≤bf(a)．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________．
解析： y′＝3x2－6x＋6＝3[(x－1)2＋1]＞0，所以函数f(x)在[－1,1]上为增函数，最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.
答案： 2 －12
14．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．
解析： 由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．
令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．
15.已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则f2014(x)的表达式为________．
[答案]
[解析] f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝
＝，…，f2014(x)＝.应寻求规律，找出解析式．
16.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为________．
[答案] (－3，－1)∪(0,1)
[解析] x·f′(x)<0⇔或
∵(－3，－1)是f(x)的递增区间，
∴f′(x)>0的解集为(－3，－1)．
∵(0,1)是f(x)的递减区间，
∴f′(x)<0的解集为(0,1)．
故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分10分）设函数f(x)＝x3－x2－3x＋1.求f(x)的单调区间和极值．
解析： f′(x)＝x2－2x－3，
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－8
∴函数f(x)的极大值为，极小值为－8，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1) 和(3，＋∞)，递减区间是(－1,3)．
18．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程.
18．答案：所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
19.求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值
19解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
20. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c0，解得x<－1或x>2.
所以f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；
在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．
所以x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．
f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.
所以当x＝－1时，f(x)取得最大值．
要使f(x)＋cf(－1)＋c，
即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.
所以c的取值范围为(－∞，－1)∪.
21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解析： f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意可得，
解得.故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；
当x＝2时，f(x)有极小值－.
所以函数的大致图像如图所示．
故实数k的取值范围是－＜k＜.
22. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x>1时，x2＋lnx0}，
所以当02时，f′(x)>0.
所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.
(2)因为f′(x)＝x－，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
令f′(x)>0有x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
令f′(x)<0有01时，g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0.
所以当x>1时，x2＋lnx
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