数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an=（﹣1）n（2n+1）‎ ‎2．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在等差数列{an}中，a3，a7是方程 x2﹣3x+1=0的两根，那么 a4+a6=（　　）‎ A．2 B．3 C．﹣3 D．1‎ ‎4．设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则a1=（　　）‎ A．1 B．2 C．±2 D．4‎ ‎5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=60° B．a=6，c=5，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=60° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎6．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎7．在等比数列{an}中，a20+a21=10，a22+a23=20，则a24+a25=（　　）‎ A．40 B．70 C．30 D．90‎ ‎8．设an=﹣n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（　　）‎ A．第10项 B．第11项 C．第10项或11项 D．第12项 ‎9．在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣（n＞1），则a2011的值为（　　）‎ A． B．5 C． D．以上都不对 ‎10．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，成等差数列，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　　．‎ ‎14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=　　．‎ ‎15．若Sn是数列{an}的前n项的和，Sn=n2，则a5+a6+a7=　　．‎ ‎16．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项的和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当n=　　时，Sn最大．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题分6小题共70分）‎ ‎17．在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c．‎ ‎18．已知数列{an}是等比数列，其中第七项是1，第四项是8‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128（n=1，2，3，…）．‎ ‎19．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎20．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=4，．‎ ‎（Ⅰ）求首项a1和公比q的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求n的值．‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为 ‎（1）求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由 ‎（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎22．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an=（﹣1）n（2n+1）‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…‎ ‎∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴|an|=2n﹣1‎ 又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，‎ ‎∴an=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．‎ ‎【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4‎ 所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k 由余弦定理可知：‎ cosC===﹣．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．在等差数列{an}中，a3，a7是方程 x2﹣3x+1=0的两根，那么 a4+a6=（　　）‎ A．2 B．3 C．﹣3 D．1‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用韦达定理，求出a3+a7=3，再利用等差数列通项的性质，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：∵a3，a7是方程 x2﹣3x+1=0的两根，‎ ‎∴a3+a7=3‎ ‎∵数列{an}是等差数列 ‎∴a4+a6=a3+a7=3‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则a1=（　　）‎ A．1 B．2 C．±2 D．4‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】依题意，设其公差为d，则d＞0；利用等差数列的性质易知a2=4，由4（4﹣d）（4+d）=48可求得d，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，‎ ‎∴3a2=12，解得a2=4，设其公差为d，则d＞0．‎ ‎∴a1=4﹣d，a3=4+d，‎ ‎∵前三项的积为48，‎ ‎∴4（4﹣d）（4+d）=48，‎ 解得d=2或d=﹣2（舍去），‎ ‎∴a1=4﹣2=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）‎ A．b=10，A=45°，C=60° B．a=6，c=5，B=60°‎ C．a=7，b=5，A=60° D．a=14，b=16，A=45°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】原式各项利用正弦定理或余弦定理，利用三角形的三边关系判断即可得到结果．‎ ‎【解答】解：A．B=75°，由正弦定理可得，∴a唯一；‎ B．利用余弦定理可得，有唯一解；‎ C．由正弦定理可得，∴sinB=，∵B＜A，∴有唯一解；‎ D．由正弦定理可知，有两解．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，‎ ‎∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．‎ 由﹣π＜A﹣B＜π 得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在等比数列{an}中，a20+a21=10，a22+a23=20，则a24+a25=（　　）‎ A．40 B．70 C．30 D．90‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的定义和性质可得a20+a21、a22+a23 、a24+a25 成等比数列，求得a24+a25的值．‎ ‎【解答】解：由于等比数列{an}中，每两项的和仍然构成等比数列，a20+a21=10，a22+a23=20，故a24+a25=40，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．设an=﹣n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（　　）‎ A．第10项 B．第11项 C．第10项或11项 D．第12项 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由an=﹣n2+10n+11≥0解出即可．‎ ‎【解答】解：由an=﹣n2+10n+11≥0，解得﹣1≤n≤11，又n∈N*，．‎ ‎∴当n=10或11时，数列{an}的前n项和最大．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣（n＞1），则a2011的值为（　　）‎ A． B．5 C． D．以上都不对 ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由数列的递推公式可 先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求 ‎【解答】解：∵a1=﹣，an=1﹣‎ ‎∴a2=1﹣=5‎ ‎=‎ ‎==a1‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的数列 ‎∴a2011=a1=﹣‎ 故选D ‎　‎ ‎10．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，‎ 成等差数列，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】由a1、a3、a2成等差数列，即a3=a2+a1，q2﹣q﹣1=0，即可求得q的值， ==，即可求得．‎ ‎【解答】解：设正项等比数列{an}公比为q，a1、a3、a2成等差数列，‎ ‎∴a3=a2+a1，‎ ‎∵a1＞0，q＞0，‎ ‎∴q2﹣q﹣1=0，‎ ‎∴q=（不合题意，舍去），或q=，‎ ‎∴q=，‎ ‎===．‎ ‎∴=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，‎ ‎，‎ ‎====‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，‎ ‎∴S=bcsinA=c=，即c=4，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，‎ ‎∴a=，‎ 由正弦定理得： ===2R==，‎ 则=2R=．‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=　15　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差中项的性质可知a3+a8=a5+a6，把a3+a8=22，a6=7代入即可求得a5．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，‎ ‎∴a3+a8=a5+a6‎ ‎∴a5=a3+a8﹣a6=22﹣7=15‎ ‎　‎ ‎14．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=　　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．‎ ‎【解答】解：∵a、b、c成等差数列，‎ ‎∴2b=a+c，‎ ‎∴4b2=a2+c2+2ac，①‎ ‎∵S△ABC=，‎ ‎∴ac=6②‎ ‎∵b2=a2+c2﹣2accosB③‎ 由①②③得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若Sn是数列{an}的前n项的和，Sn=n2，则a5+a6+a7=　33　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据a5+a6+a7=S7﹣S4利用数列的前n项的和的表达式，求得答案．‎ ‎【解答】解：a5+a6+a7=S7﹣S4=49﹣16=33‎ 故答案为：33‎ ‎　‎ ‎16．在等差数列{an} 中，Sn是它的前n项的和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当n=　8　时，Sn最大．‎ ‎【考点】等差数列的性质；数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0‎ ‎∴a8+a9＞0，并且a9＜0，‎ ‎∴a8＞0，‎ ‎∴数列的前8项和最大 故答案为8．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题分6小题共70分）‎ ‎17．在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理和已知条件求得sinA的值，进而求得A，再根据三角形内角和求得C，最后利用正弦定理求得c．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理，sinA===．‎ ‎∵B=45°＜90°，且b＜a，∴A=60°或120°．‎ 当A=60°时，C=75°，c===；‎ 当A=120°时，C=15°，c===．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}是等比数列，其中第七项是1，第四项是8‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128（n=1，2，3，…）．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）利用等比数列前n项和公式进行证明．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是等比数列，其中第七项是1，第四项是8，‎ ‎∴，‎ 解得a1=64，q=，‎ ‎∴an=a1qn﹣1=64×（）n﹣1，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵a1=64，q=，‎ ‎∴Sn==128﹣，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形；三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；‎ ‎（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，‎ 又△ABC的面积等于，sinC=，‎ ‎∴，‎ 整理得：ab=4，‎ 联立方程组，‎ 解得a=2，b=2；‎ ‎（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，‎ 联立方程组，‎ 解得：，，‎ 又sinC=，‎ 则△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎20．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=4，．‎ ‎（Ⅰ）求首项a1和公比q的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求n的值．‎ ‎【考点】等比关系的确定；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用等比数列的性质，求出a5，利用a3=4，即可求首项a1和公比q的值；‎ ‎（Ⅱ）利用等比数列的求和公式，即可求n的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，…‎ ‎∴，∴q=2，…‎ ‎∵a3=4，∴a1=1．…‎ ‎（Ⅱ）由，得，…‎ ‎∴2n﹣1=210﹣1‎ ‎∴2n=210…‎ ‎∴n=10．…‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为 ‎（1）求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由 ‎（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）n=1时，a1=S1=﹣6，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣8，故通项公式an=2n﹣8，根据等差数列的定义即可判断该数列是等差数列，且公差d=2；‎ ‎（2）由an=2n﹣8≥0，得n≥4，故数列{an}前三项为负项，从第四项起为非负项，对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得Tn．‎ ‎【解答】解：（1）n=1时，a1=S1=﹣6，‎ n≥2时，，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣7n）﹣（n2﹣9n+8）=2n﹣8，‎ a1=﹣6也符合上式 故an=2n﹣8，n∈N+‎ ‎∵n≥2时，an﹣an﹣1=（2n﹣8）﹣（2n﹣10）=2‎ ‎∴{an}是等差数列，公差d=2．‎ ‎（2）由an=2n﹣8≥0，得n≥4，故数列{an}前三项为负项，从第四项起为非负项．‎ n≤3时，Tn=﹣Sn=﹣n2+7n，‎ n≥4时，Tn=﹣（a1+a2+a3）+（a4+…+an）=﹣S3+（Sn﹣S3）=n2﹣7n+24‎ 故．‎ ‎　‎ ‎22．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，从而∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，A1B2=10，在△B1A1B2中，由余弦定理求出B1B2得出乙船的速度．‎ ‎【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，‎ 连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，‎ ‎∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．‎ ‎∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，‎ 在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．‎ ‎∴B1B2=10．‎ ‎∴乙船的航行速度是海里/小时．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日