高中数学必修3同步练习：第三章概率(A)
必修三 第三章 概率(A)
一、选择题
1、如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A. B. C．1－ D．1－
2、某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
①选出1人是班长的概率为；
②选出1人是男生的概率是；
③选出1人是女生的概率是；
④在女生中选出1人是班长的概率是0.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
4、把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不是对立事件 D．以上答案都不对
5、在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
6、从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”
互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
7、矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为( )
A．16 B．16.32
C．16.34 D．15.96
8、在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17
n的概率为( )
A. B.
C. D.
12、一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
13、从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
14、在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
15、先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
16、设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．
三、解答题
17、汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测
它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
18、经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
19、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
20、在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率．
21、某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
22、在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？
以下是答案
一、选择题
1、C [P＝＝＝1－.]
2、D [本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为＝；“选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.]
3、C [抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率P＝.]
4、C [由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．]
5、B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.]
6、A [从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
7、B [由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.]
8、C [∵a∈(15,25]，∴P(17n的点应在梯形OABD内，
所以所求事件的概率为P＝＝.]
12、A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．
故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.]
二、填空题
13、0.3
解析 所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3.
14、
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
15、
解析 基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，
即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，
所求概率为＝.
16、
解析 基本事件总数为36个，
若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6.
符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为.
三、解答题
17、解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
18、解 记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
也可以这样解，G与H互为对立事件，
所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.
19、解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，
(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
20、解 在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．
设事件A表示方程x2－x＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|}，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率为.
21、解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
22、解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个．
(1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123，
P(E)＝1/20＝0.05.
(2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1，
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元．
