2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设集合,，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先对集合B化简,再求交集.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的化简以及交集运算,属于基础题．‎ ‎2．已知,为第三象限角,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知等式利用诱导公式化简求出的值,根据为第三象限角,利用同角三角函数间基本关系求出的值,即可确定出的值.‎ ‎【详解】‎ 解：,‎ 即,为第三象限角,‎ ‎，‎ 则，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题.‎ ‎3．设等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，因为，，‎ 所以，解得；‎ 因此.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：因为A的定义域为不关于原点对称,故不是偶函数,则A错误;‎ 因为在单调递减,lnx在单调递增,由复合函数的性质可知,在单调递减,故B错;‎ 函数是偶函数,且在单调递增,故C正确;‎ 由的图象知在不单调,故D错.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察了常见函数的基本性质,属于基础题.‎ ‎5．函数的图象是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由,即 由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线的一部分,‎ 考察四个选项,只有A选项符合题意.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题.‎ ‎6．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（ ）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.‎ ‎【详解】‎ 由 ，‎ 可得，进而可得 ，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.‎ ‎7．己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意:‎ 对任意,,‎ 在上为减函数；‎ 函数是偶函数 关于y轴对称；‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.‎ ‎8．函数的图象可由的图象如何得到( )‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 即的图象可由的图象向右平移个单位得到，‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象变换关系,利用诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎9．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，‎ 右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：‎ 结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，‎ 而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即 即可 故选B。‎ ‎10．下列四个命题：‎ 函数的最大值为1；‎ ‎“，”的否定是“”；‎ 若为锐角三角形，则有；‎ ‎“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．‎ 其中错误的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：由,得的最大值为,故错误;‎ ‎“,”的否定是“”,故正确;‎ 为锐角三角形,,则，‎ 在上是增函数,,同理可得，,,故正确;‎ ‎,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,‎ 可得函数在区间内单调递增;‎ 若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,‎ ‎,‎ ‎“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．‎ 其中错误的个数是1.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．‎ ‎11．设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为( )‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题为一元二次方程的实根分布问题,分别讨论和,根据一元二次函数的图象依次根据开口方向,对称轴,判别式,区间端点列出不等式组,得到满足的条件,所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域,数形结合解这个线性规划问题即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点，‎ 由题意可得：或，‎ 即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍);‎ 化简得,‎ 在直角坐标系中作出满足不等式可行域, 可行域阴影部分如图所示,‎ 设,则直线经过图中的可行域中的整点时,‎ 取得最小值,即．‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合,运用数形结合思想,是中档题.‎ ‎12．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：‎ 函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 点是函数图象的一个对称中心；‎ 函数图象关于直线对称；‎ 存在常数，使对一切实数x均成立，‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断函数的奇偶性,再由导数研究单调性判断正误;‎ 找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误;‎ 说明不恒成立,判断错误;‎ 找出一个常数M,使对一切实数均成立即可.‎ ‎【详解】‎ 解：,,当时,,‎ 在上单调递增,又，‎ 是偶函数,因此在上为减函数,故正确;‎ ‎,,,故点不是函数图象的一个对称中心,故错误；‎ ‎,‎ ‎,若，‎ 则恒成立即,不满足对任意恒成立,函数图象不关于直线对称,故错误；‎ 取即可说明结论是正确的，故正确．‎ 正确命题的个数是2．‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的基本性质,考查函数的对称性与最值,训练了利用导数研究函数的单调性,是中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，‎ 再讨论是否满足是上的减函数．‎ ‎【详解】‎ 解：函数是幂函数,‎ 则,即,‎ 解得或;‎ 当时,,函数是上的减函数,满足题意;‎ 当时,,函数不是上的减函数,不满足题意;‎ 所以的值为2．‎ 故答案为:2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,属于基础题．‎ ‎14．已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：因为在R上的奇函数,当时,，,,‎ ‎;‎ 所以答案为:2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇函数性质,属于基础题．‎ ‎15．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.‎ ‎，当时，，此时函数单调递减；‎ 当时，，此时函数单调递增.‎ ‎，即函数在上的最小值为-1.‎ 函数为直线，‎ 当时，，显然不符合题意；‎ 当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；‎ 当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.‎ 故实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.‎ ‎16．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】本题先要根据题意画出图象,找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点,然后代入运算，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意画出图象如下：‎ 根据题意,很明显,在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点．‎ 则由在点D处,，而，‎ 且，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为:1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数形结合法的具体应用,以及直线与曲线相切的概念,并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题．‎ ‎17．命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：命题为真命题，为假命题；‎ 一真一假．‎ 命题：实数a满足：的定义域为R；‎ 则恒成立，即，；‎ 故：;‎ 命题：函数在上单调递减;；‎ ‎,故：;‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得；‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题,考查了等价转化方法、复合命题的真假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18．已知函数．‎ 求在区间上的最大值和最小值；‎ 若，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．‎ 由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；‎ 由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎,,‎ ‎,则，；‎ 由,得,‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．‎ ‎19．已知数列是递增的等差数列，，是方程的根．‎ 求数列的通项公式；‎ 求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式；‎ 求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：数列是递增的等差数列,设公差为,，是方程的根,‎ 可得,,‎ 则,,‎ 解得,,‎ 则;‎ ‎(2)由(1)得所以,则 则前n项和 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式,数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于一般难度的题．‎ ‎20．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．‎ 求年利润万元关于年产量台的函数关系式；‎ 当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？‎ ‎【答案】（1）（2）当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元 ‎【解析】根据条件，利润为分段函数，分别表示即可；‎ 分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设利润为y万元,由题得,‎ 当时,;‎ 当时,,‎ 则;‎ 由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元；‎ 当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，‎ 综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题．‎ ‎21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ 求A和B的大小；‎ 若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．‎ 利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎，，‎ 可得，即;‎ ‎,‎ ‎,‎ 由．‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 如图所示:‎ 设，,‎ 在中由正弦定理,得,‎ 由可知,,‎ 所以:,‎ 同理,‎ 由于,‎ 故，此时．‎ 故的面积的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数．‎ 当时，求函数的最小值；‎ 若时，，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小值为1（2）‎ ‎【解析】当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可．‎ 若时,,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解:当时,函数的解析式为,则:,‎ 时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减，‎ 函数的最小值为：．‎ 若时，，即 令，则；‎ 令，则；‎ 函数在区间上单调递增，．‎ 若，则，即，‎ 函数在区间上单调递增，．‎ 式成立．‎ 若，则．‎ ‎．‎ 故，使得．‎ 则当时，．‎ 即．‎ 函数在区间上单调递减；‎ ‎，即式不恒成立．‎ 综上所述：实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题．‎