高考数学专题复习：课时达标检测（三十九） 直线、平面垂直的判定与性质

高考数学专题复习：课时达标检测（三十九） 直线、平面垂直的判定与性质

课时达标检测（三十九） 直线、平面垂直的判定与性质 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 解析：选C　A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误．‎ ‎2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形．‎ ‎3．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，‎ C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确的结论有________．‎ 解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，‎ 故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③AF⊥PB，若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．‎ 答案：①②④‎ ‎4．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎①若a∥α且b∥α，则a∥b；‎ ‎②若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；‎ ‎③若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.‎ 上面命题中，所有真命题的序号是________．‎ 解析：①中a与b可能相交或异面，故①是假命题．②中存在γ，使得γ与α，β都垂直，故②是真命题．③中只需直线l⊥α且l⊄β就可以，故③是真命题．‎ 答案：②③‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β 解析：选C　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.‎ ‎2.如图，O是正方体ABCDA1B‎1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1 D．A‎1C1‎ 解析：选D　连接B1D1(图略)，则A‎1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A‎1C1，故A‎1C1⊥平面BB1D1D，B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A‎1C1.‎ ‎3.如图，在斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 解析：选A　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．‎ ‎4．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)‎ A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c 解析：选B　A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c ‎，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．‎ ‎5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：选D　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.‎ ‎6.如图，直三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ 解析：选A　设B‎1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.‎ 又2×＝h，所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝.‎ 由面积相等得× ＝x，得x＝.‎ 二、填空题 ‎7.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．‎ ‎①平面ABC⊥平面ABD；‎ ‎②平面ABD⊥平面BCD；‎ ‎③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；‎ ‎④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.‎ 解析：由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，所以平面ABC ‎⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确．‎ 答案：③‎ ‎8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，‎ 即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ ‎9．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：‎ ‎①若l⊥α，则l与α相交；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；‎ ‎③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；‎ ‎④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 解析：①显然正确；对于②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对于③，由l∥m，m∥n，得l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，再由n⊥α，得l∥n，故④正确．‎ 答案：①③④‎ ‎10．(2016·兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)‎ ‎①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；‎ ‎②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；‎ ‎③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；‎ ‎④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.‎ 解析：由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②‎ 由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．‎ 答案：①②④‎ 三、解答题 ‎11.如图，四棱锥PABCD 中， AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC 的中点．求证：‎ ‎(1)AP∥平面BEF；‎ ‎(2)BE⊥平面PAC.‎ 证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．‎ 由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，‎ 所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，‎ 因此四边形ABCE为菱形，‎ 所以O为AC的中点．‎ 又F为PC 的中点，‎ 因此在△PAC中，可得AP∥OF.‎ 又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.‎ 所以AP∥平面BEF.‎ ‎(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，‎ 因此BE∥CD.‎ 又AP⊥平面PCD，‎ 所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.‎ 因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.‎ 又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，‎ 所以BE⊥平面PAC.‎ ‎12.如图所示，已知长方体ABCD A1B‎1C1D1，点O1为B1D1的中点．‎ ‎(1)求证：AB1∥平面A1O1D；‎ ‎(2)若AB＝AA1，在线段BB1上是否存在点E使得A‎1C⊥AE ‎？若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ 解： (1)证明：如图1所示，连接AD1交A1D于点G，‎ ‎∴G为AD1的中点，连接O‎1G，在△AB1D1中，‎ ‎∵O1为B1D1的中点，∴O‎1G∥AB1.‎ ‎∵O‎1G⊂平面A1O1D，且AB1⊄平面A1O1D，‎ ‎∴AB1∥平面A1O1D.‎ ‎(2)若在线段BB1上存在点E使得A‎1C⊥AE，连接A1B交AE于点M，如图2所示．‎ ‎∵BC⊥平面ABB‎1A1，AE⊂平面ABB‎1A1，‎ ‎∴BC⊥AE.‎ 又∵A‎1C∩BC＝C，且A‎1C，BC⊂平面A1BC，‎ ‎∴AE⊥平面A1BC.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BC，∴AE⊥A1B.‎ 在△AMB和△ABE中，∠BAM＋∠ABM＝90°，∠BAM＋∠BEA＝90°，∴∠ABM＝∠BEA.‎ ‎∴Rt△ABE∽Rt△A1AB，∴＝.‎ ‎∵AB＝AA1，∴BE＝AB＝BB1，‎ 即在线段BB1上存在点E使得A‎1C⊥AE，此时＝.‎