黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测数学（文科）试题

黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测数学（文科）试题

黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测 数学（文科）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.） ‎ ‎1. 设集合，，则= ‎ A． B. C. D.‎ ‎2. 已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设且,则“”是“”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为 ‎ A．7000 B．7500 C．8500 D．9500‎ ‎5. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，则斜率的取值范围为 A. B. C．D．‎ ‎6．已知向量满足，且，则在方向上的投影为 A. B. C. D. ‎ ‎7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，‎ 平面，，且的中点，则异面直线与夹角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎8. 已知 部分图象如图，则的一个对称中心是 A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知程序框图如图所示，若输入的，则输出的结果S的值为 A.1009 B.1008 C. D. ‎ ‎10.已知数列和的前项和分别为和，且，‎ ‎,，若对任意 的 ,恒成立，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长 为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13.已知椭圆：,以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆；以右顶点为圆心，椭圆的长轴长为直径作圆，则圆与圆的公共弦长为 . ‎ ‎14.定义在上的函数满足，若，且,则= . ‎ ‎15.若整数满足不等式组，则的最小值为 ．‎ ‎16.满足,，则面积的最大值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若, ，求点到平面的距离.‎ ‎75‎ ‎0.010‎ ‎15‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎0.030‎ 年龄/岁 ‎0.005‎ ‎65‎ ‎25‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎2019年全国“两会”,即中华人民共和国 第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协 商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别 于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为 了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽 取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，‎ 并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，‎ 把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分 别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1.‎ ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表,从8人中任选2人,求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少 ?‎ ‎（Ⅲ）根据已知条件,完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?‎ 关注 不关注 合计 青少年人 中老年人 合计 ‎[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在中,，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;‎ ‎（Ⅱ）已知定点,不垂直于的动直线与轨迹相交于两点,若直线 关于直线对称,求面积的取值范围.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数,直线：.‎ ‎（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率,若 在 上存在极值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.‎ 考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程 设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，‎ 曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若直线与曲线相交于两点，且，求的值﹒‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知.‎ ‎（Ⅰ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的取值范围.‎ 黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.D 12. B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 14. 4 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为……… ① ；当时，…… ②‎ 由①-② 得，故 ……………………………………………4分 又因为适合上式，所以（）. …………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ‎ ‎, ……………………………8分 ‎ ……………10分 所以. ………………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图，连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，‎ ‎∵是的中点，∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，‎ 又，∴平面,又∵平面,‎ ‎∴，且.‎ 同理可得，过作，则面，且. …………9分 设到平面的距离为,由等体积法可得：‎ ‎，即，‎ 即.‎ 即点到平面的距离为. …………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ,解得 …………………2分 ‎（Ⅱ）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为，在[45,55)中抽取2人, 记为.‎ 则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下： …………………………………………………4分 记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则. ………………6分 ‎（Ⅲ）2×2列联表如下： ………………………………………………………………8分 关注 不关注 合计 青少年人 ‎40‎ ‎55‎ ‎95‎ 中老年人 ‎70‎ ‎35‎ ‎105‎ 合计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎ ………………10分 所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”. ………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解:(Ⅰ)由 ，得,‎ 根据正弦定理,所以轨迹是以为焦点的椭圆(除轴上的点),由于,所以轨迹的方程为; …5分 ‎(Ⅱ)由题，设的方程为,将直线的方程代入的方程得:.‎ 所以 ………………6分 又直线与轨迹相交于不同的两点,所以,即，‎ 直线关于轴对称,可以得到,‎ 化简得,‎ ‎,得, ………………8分 那么直线过点,,所以三角形面积：‎ ‎ ……………10分设,,在上单调递减，‎ ‎. …………………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，解得.‎ 由题意得： ，解得. ………………4分 ‎（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，‎ ‎∴切线的斜率.‎ ‎∴切线的方程为，又∵切线过（0，-1）点，‎ ‎∴.‎ 解得， ∴， ∴. ……………………………………8分 ‎ ‎（Ⅲ）由题意，令， 得 .‎ 令， ∴，由，解得.‎ ‎∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴,又时，；时，，‎ 时，只有一个交点；时，有两个交点；‎ 时，没有交点. ………………………………………………………………12分 ‎22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由题可得，曲线的普通方程为. …………………2分 直线的直角坐标方程为，即. ………3分 由于直线过点，倾斜角为，‎ 故直线的参数方程（是参数）. …………………………………5分 ‎（注意：直线的参数方程的结果不是唯一的）‎ ‎（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程 并化简得： ‎ ‎ ……………7分 所以 ……………………………………………9分 解得. ……………………………………………………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ），所以，…………3分 恒成立，则，‎ 解得. ………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ），，则， ……………8分 又，所以，于是，‎ 故. ………………………………………………………………10分[来源:学科网ZXXK]‎